Сторона основания правильной четырехугольной призмы 6дм , а площадь боковой поверхности 120 дм^2 . найти объем призмы.

S=P*h              h=S/P            P=6*4=24
h=120/24=5
V=6*6*5=180

Есть такое  свойство касательных к окружности, проведенных из одной точки. Если точка снаружи от окружности, то этих касательных две, и они равны. Ну, в том смысле, что равны отрезки обеих касательных от точки до точек касания.
Вы это просто обязаны знать :(
Для этой задачи это означает вот что (обратите внимание - дальше идет решение задачи)

AK = AM = 6; CP = CM = 8; BK = BP = 7;
AB + BC + AC = AK + BK + BP + CP + CM + AM = 2*(AM + CM + BP) = 2*(6 + 8 + 7) = 42;

Это все решение. Правда сложная задача? 
Сам треугольник имеет стороны 13, 14, 15, его площадь 84, высота к стороне 14 равна 12 и делит её на отрезки 5 и 9, радиус вписанной окружности равен 4, а радиус описанной окружности равен 65/8; 
Это чуток посложнее будет, но уж точно это - задача :)

        m = 3 ± 2√2

        m = - 1 ± √13

        m = 13/8

Объяснение:

Расстояние между точками:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Найдем длины сторон треугольника:

AB = √((2 - 1)² + (-1 - 3)²) = √(1 + 16) = √17

AC = √((4 - 1)² + (m - 3)²) = √(9 + (m - 3)²)

BC = √((4 - 2)² + (m + 1)²) = √(4 + (m + 1)²)

Треугольник равнобедренный, если две стороны его равны.

1. АВ = АС

√(9 + (m - 3)²) = √17

9 + (m - 3)² = 17

(m - 3)³ = 8

m - 3 = ±2√2  

m = 3 ± 2√2

2. AB = BC

√(4 + (m + 1)²) = √17

4 + (m + 1)² = 17

(m + 1)² = 13

m + 1 = ± √13

m = - 1 ± √13

3. AC = BC

√(9 + (m - 3)²) = √(4 + (m + 1)²)

9 + (m - 3)² = 4 + (m + 1)²

m² - 6m + 9 + 5 = m² + 2m + 1

8m = 13

m = 13/8