Восновании пирамиды лежит треугольник со сторонами 4см 5см 7см, высота пирамиды равна 12, вычислить объем пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле: V = ⅓SH, - где S - площадь основания пирамиды, H - ее высота. Для решения задачи остается вычислить площадь основания.
Площадь треугольника, в котором известны три стороны, являющиеся натуральными числами, удобно вычислять с формулы Герона: S = √(p·(p - a)·(p - b)·(p - c)), - где p - полупериметр треугольника.
p = 0,5*(4+5+7) = 8 (см).
Тогда S = √(8·(8 - 5)·(8 - 4)·(8 - 7)) = √8*3*4*1 = √96 = 4√6 (см^2).
V = ⅓SH = ⅓ * 4√6 * 12 = 16√6 (cм^3).

ответ: 16√6  см^3.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит <C=<A=30°. Угол при вершине равен 180° - 2*30° =120°.

Cos120 = Cos(180-60) = -Cos60 = -1/2.

По теореме косинусов: ВС= √(АВ²+АС²-2*АВ*АС*Сos120) =

√(128+128*1/2) = √(128+128*1/2) =√192 = 8√3.

DE=4√3, так как DE - средняя линия треугольника АВС (дано).

Скалярное произведение векторов "a" и "b": |a|*|b|*Cos(a^b).

В нашем случае Cos(AB^AC)=Cos120)= -1/2, Cos(AB^BC)=Cos30=1/2, Cos(BC*DE) = Cos0 =1. Тогда:

а) (АВ*АС) = 8*8*(-1/2) = -32.

б) (АВ*ВС) = 8*8√3*(√3/2) = 96.

в) (ВС*DE) = 8√3*4√3*(1) = 96.

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.  •Док-во. Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса. Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.