35) в треугольнике авс сторона ав равна 3 м, высота сd равна корень из 3 м. основание d высоты сd лежит на стороне ав, причем аd = вс. найти длину ас

Пусть BD = x, тогда AD = 3 - x = BC
Запишем уравнение теоремы Пифагора для треугольника BDC:
BC^2 = BD^2 + CD^2
(3 - х)^2 = х^2 + (√3)^2
9 - 6х + x^2 = x^2 + 3
6x = 6
x = 1
BC = 3 - x = 3 - 1 = 2 = AD
Запишем уравнение теоремы Пифагора для треугольника ADC:
AC = √(AD^2 + DC^2)
AC = √((3 - x)^2 + (√3)^2) = √(4 + 3) = √7
ответ: AC = √7

Треугольник равнобедренный, значит угол ВАС=ВСА. Так как угол АВС известен, и он равен 67 градусов, то можно найти и ВАС,и =ВСА. Сумма углов в треугольнике равно 180.
Тогда (180-67):2=113:2=56,5 градусов=ВАС=ВСА.
Рассмотрим треугольник ВСК, который будет прямоугольным. По свойству медиан в равнобедренном треугольнике (Медиана, проведенная к основанию, будет и биссектрисой, и высотой). В треугольнике ВСК мы знаем 2 угла. угол ВКС=90 градусов и угол ВСК=56,5 градусов (ВСК=ВСА). Можно найти последний угол КВС.
КВС=180-90-56,5=33,5 градуса. 
ответ: в треугольнике ВСК ушлы равны 90, 33,5 и 56,5 градусов.

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому
по теореме косинусов можно сразу найти косинус угла СВD в треугольнике CBD:
Cos(CBD)=(BC²+BD²-CD²)/(2*BC*BD) или в нашем случае:
Cos(CBD)=(25+36-16)/60=3/4.
ответ: <CBD=arccos(3/4) или ≈41,4°.
Синус угла CBD равен sin(CBD)=√(1-9/16)=√7/4.
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому площадь параллелограмма равна Sabcd=2*Sbcd.
Scbd=(1/2)BC*BD*Sin(CBD) или Scbd=15√7/4.
Sabcd=2*15√7/4=15√7/2=7,5√7.
ответ: Sabcd=7,5√7.

Для проверки найдем по теореме косинусов в треугольнике АВD косинус угла А:
CosA=(16+25-36)/40=1/8.
SinA=√(1-1/64)=(√63)/8=(3√7)/8.
Тогда площадь параллелограмма равна
Sabcd=AB*AD*SinA или Sabcd=(20*3√7)/8=15√7/2=7,5√7.
ответ совпал с полученным ранее значением.