Радиусы вневписанных окружностей около треугольника равны 3, 4 и 5 соответственно. найдите стороны треугольника или докажите, что такого треугольника не существует.

Пусть имеем треугольник АВС и вневписанные окружности ra = 3, rb = 5, rc = 4.

Впишем в треугольник окружность с радиусом r.

Точки касания этой окружности стороны АС и rа к её продолжению соответственно В1 и В2.

Находим радиус вписанной окружности в треугольник АВС по известным радиусам вневписанных окружностей.

.

(1/r) = (1/3) + (1/4) + (1/5) = 47/60.

Получаем радиус вписанной окружности r = 60/47.

Центры окружностей О и О1 лежат на биссектрисе угла А.

Используем свойства вписанной и вневписанной окружностей.

Квадрат полупериметра р треугольника АВС равен:

р² = ra*rb + rb*rc + rc*ra = 3*5 + 5*4 + 4*3 = 47.

Отсюда р = √47.

Тогда площадь S треугольника АВС равна: S = rp = 3√47 ≈ 8,75189949.

Применим свойства: отрезок АВ2 = р, отрезок АВ1 = р - а.

Из подобия треугольников выводим пропорцию: r/АВ1 = rа/АВ2. Подставим значения: r/(р - а) = rа/р, или rр = rа(р - а).

Раскроем скобки и выделим а: а = р - (рr/rа) = (р(rа - r)/rа.

По аналогичным формулам находим стороны b и с.

Подставив значения, получаем:

а = 3,93835477 b = 5,105274702 c =4,667679728 .

Делаем проверку правильности найденных значений.

По формуле Герона S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)).

Подставив значения, находим S = 8,75190051 . что соответствует уже найденному значению.

Вторая проверка: по теореме косинусов угол А равен 47,26788996°.

С другой стороны А = 2arctg(ra/p) = 2arctg(3/√47) = 47,26788996 ° верно.

Дано: угол CDB=90°, угол ABD= 45°, угол CBD= °,. BC= 7 см, BD= 5 см. Найти: угол A, угол C, AC.

————

  Сделаем по данному условию рисунок и рассмотрим прямоугольные треугольники АВD и СВD, на которые  ВD разбила исходный.

  Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. 

∠ВАD=90°- 45°=45°

    ⊿ АВD- равнобедренный по равенству углов при основании АВ  ⇒ АD=BD=5 см

     ∠CDB=90°и угол СВD=30°(дано),⇒   В ⊿ ВСD ∠С=90°-30°=60°.

     Длина отрезка равна сумме длин  составляющих его частей⇒ АС=AD+CD

   Катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. ⇒    CD=1/2•BC=7:2=3,5 см, из чего следует: АС=АD+DC=5+3,5=8,5 см.

         НО!

По т.Пифагора  квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. ⇒ СD=√(BC²-ВD²)=√24=2√6, и не равно 3,5

  Следовательно, треугольник ВСD с гипотенузой 7 и катетом 5 не может иметь острый угол 30°, если он прямоугольный.

Величина угла СВD -по ошибке или намеренно ( бывает и так), -  дана неверно.

 Найдем искомый угол C по его синусу.

sinC=ВD/BC=5/7=0.7142857142857143  По таблице Брадиса или по калькулятору находим его величину. ∠С=45,58° .

Тогда СD=BC•cos45,58°=7•0,6999≈4,9 см ⇒

АС=5+4,9≈9,9 см.

. 

Координаты вектора вычисляются так:
из соответствующих координат точки_конца вектора вычитаются координаты точки_начала вектора.
вектор_AB={3-6; 2-(-4); 3-2}     |AB|=√(9+36+1) = √46
вектор_BC={3-3; -5-2; -1-3}      |BC|=√(0+49+16) = √65
вектор_AC={3-6; -5-(-4); -1-2}   |AC|=√(9+1+9) = √19
длина вектора = корень квадратный из суммы квадратов координат))
в треугольнике бОльшая сторона - это ВС
по обратной т.Пифагора: если квадрат стороны треугольника = сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный))
65 = 46+19
ЧиТД