Доказать что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение. Пусть треугольник ABC — равнобедренный с основанием ВС, а точки Ах, Вх,  Сх  — середины его сторон  (рис.88). Тогда АВ = AC, ZB = ZC, ВСХ = 1-АВ = 1-АС = СВХ, ВАХ = САХ.

Следовательно, АВАХСХ = АСАХВХ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что АХСХ = АХВХ, т. е. треугольник АХВХСХ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Привет!

обозначим интересующие нас части треугольника как:

AB=x

AC=z

BC=y

BD=h

DC=f

так как периметр это сумма всех сторон то составим систему уравнений:

                               x+y+z = 90                                 (AB+AC+BC=90)

(это система)    {   x+h+z-f = 84       (z-f=AD)          (AB+BD+AD=84)

                               h+f+y = 30                                 (BD+DC+BC=30)

решаем систему:

(тут много получаем        x+2h+y+z=114

   h+f+y = 30

далее

  x+2h+y+z=114

-                                 тут получим   2h=24 ⇒ h=12 ⇒ bd=12

   x+y+z = 90

На ребре SB от вершины S отложим отрезок SK, равный 1.

Из точки К восстановим перпендикуляры РК и МК к сторонам SA и SC.

Угол РКМ и есть искомый угол при ребре SB.

Находим длины отрезков: РК = 1*tg 60° = √3, МК = 1*tg 30° = 1/√3.

Теперь находим длины отрезков SP и SM:

SP = 1/cos 60° = 1/(1/2) = 2, SM = 1/cos 30° = 1/(√3/2) = 2/√3.

Длина отрезка РМ равна: РМ = √(РК² + МК² - 2*РК*МК*cos (ASC)) =

= √((4/3) + 4 - 2*(2/√3)*5*(1/√3)) = √(8/3).

Можно определить искомый угол:

cos PKM = (PK² + MK² - PM²)/(2*PK*MK) = (3 + (1/3) - (8/3))/(2*√3*(1/√3) =

              = 2/6 = 1/3.

∠PKM = arc cos (1/3) = 1,23096 радиан или 70,5288  градуса.