Вшар радиуса r вписан прямой круговой конус, написать функциональную зависимость площади боковой поверхности s : от образующей l; от угла α при вершине конуса в его осевом сечении; от угла b при основании конуса

1) Зависимость площади боковой поверхности S от образующей L;

Косинус половины угла при вершине по теореме косинусов:

cos(α/2) = (R² + L² - R²)/(2RL) = L/2R.

Отсюда синус равен: sin(α/2) = √(1 - (L²/4R²).

Радиус r основания конуса равен:

r = Lsin(α/2) = L√(1 - (L²/4R²).

Тогда S = πrL = πL√(1 - (L²/4R²)L = πL²√(1 - (L²/4R²).

2) Зависимость площади боковой поверхности S от угла α при вершине конуса в его осевом сечении.

Пусть основание конуса ниже центра шара.

Угол φ между радиусами R шара и основания r конуса равен:

φ = 90° - 2(α/2) = 90° - α.

r = Rcosφ = Rcos(90 - α) = Rsin α.

Образующая L  равна:

L = r/sin (α/2) = Rsin α/sin(α/2) = R*2sin(α/2)cos(α/2)/sin(α/2) = 2Rcos(α/2).

Тогда S = πrL = πRsin α2Rcos(α/2) = 2πR²sin α*cos(α/2).

3) Зависимость площади боковой поверхности S от угла B при основании конуса.

Аналогично с пунктом 2) S = 2πR²sin 2β*sinβ.

Допустим, прямая не пересекает плоскость бета, а параллельна ей. Тогда все точки этой прямой должны находиться на равном удалении от плоскости бета (иначе один из концов пряой приблизится к плоскости бета и пересечет ее) . Одна точка, точка пересечения прямой с плоскостью альфа, находится на том же расстоянии от плоскости бета, что и плоскость альфа. Следовательно все остальные точки прямой находятся на таком же расстоянии, т. е. лежат в плоскости альфа, значит вся прямая долна лежать в плоскости альфа. Но по условию прямая не лежит в плоскости альфа, а пересекает ее. Таким образом она не может быть параллельна плоскости бета и пересечется с ней.

2Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые a и b, а через точку А проведем прямые a1 и b1, соответственно параллельные прямым а и b. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые a1 и b1. Плоскость β — искомая, так как она проходит через точку A и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.Докажем теперь, что β — единственная плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости &alpha. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает плоскость β, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость a 

Б) 12 см

Допустим, у нас четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD. Высота - SO. Точка O - точка пересечения диагоналей.

1. Основание - квадрат. Площадь квадрата можно найти по формуле 
, где d-диагональ.

см

2. Диагонали в квадрате равны и точкой пересечения делятся пополам - OA=OB=OC=OD. Находим любой из перечисленных отрезков. 
10/2=5 см

3. Рассмотрим треугольник SOC - прямоугольный, т.к. SO - высота.
Мы знаем боковую грань (гипотенуза) и катет (половина диагонали). Можем найти второй катет, т.е. высоту.
По теореме Пифагора:
SC²=SO²+OC²
13²=SO²+5²
SO²=169-25
SO²=144
SO=12 см