Abcda1b1c1d1-прямоугольный параллелепипед. причем а в=а см, вс=2а см, вв1=4а см. через точки а, в1 и с проведена плоскость. найдите тангенс угла между плоскостями ав1с и авс

плоскости ав1с и авс по условию образуют двугранный угол васв1 с ребром ас. проведём перпендикуляр вк к ас. линейным углом этого двугранного угла будет угол в1кв. поскольку в прямоугольном треугольнике авс  вк-высота, получаем два подобных треугольника авс и вкс. отсюда вк/кс=ав/вс=а/2а. или вк=1/2 кс. обозначим вк=h, кс=х, отсюда h=х/2. по теореме пифагора( х квадрат)+( х/2)квадрат=(2а) квадрат. или( х квадрат)+(хквадрат)/4=4*а квадрат. отсюда х=4а/(корень из 5). и h=вк= 2а/(корень из5).  тогда tgв1кв=в1в/вк=2корня из 5.

ага, пифагорова тройка (20, 21, 29). проверьте сами - сумма квадратов первых 2 равна квадрату третьего. 

итак, в основании пирамиды прямоугольный треугольник с площадью

sosn =20*21/2 = 210,

и грани пирамиды имеют одинаковый наклон. 

смотрите, чтобы много не считать. вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности. потому что при равном наклоне граней все апофемы равны (они равны h = h/sin(ф), н - высота пирамиды, ф - двугранный угол между гранью и основанием). вершина пирамиды равноудалена от сторон основания, значит, и её проекция на основание будет равноудалена от сторон основания. то есть   - это центр вписанной окружности.

проекцией апофемы является радиус вписанной окружности r. 

причем апофема (любая) h = r/cos(ф); боковая поверхность при одинаковых апофемах вычисляется так

sb = (1/2)*р*h;

где р - периметр основания (это просто сумма площадей всех треугольников-боковых граней), 

sb = (1/2)*p*r/cos(ф) = sosn/cos(ф); эта формула крайне полезная, но я не уверен, что программе она есть, поэтому просто её вывел по ходу решения.

итак,

h = r*tg(ф), в нашем случае h = r; r = (a + b - c)/2 = 6; (могу объяснить, как эта формула получается, если надо, это в прямоугольном треугольнике работает. но можно и так сосчитать, r = 2*s/p = 420/(20+21+29) = 6; )

h = 6; это высота пирамиды

sosn = 210;  

sb = 210/(корень(2)/2) = 210*корень(2);

полная поверхность 210*(1 + корень(2));

 

 

для решения нужно знать радиус основания и высоту конуса. радиус найти из   синуса угла а  sin  а =r: lотсюда r= sin  а *lвысоту конуса найдем из косинуса асоs  а=h: lотсюда h=соs  а*lплощадь боковой   поверхности круглого конуса равна произведению половины окружности основания (c) на образующую (l)по формуле s=1/2 c l= π r lsбок= π  sin а *l²объем круглого конуса равен трети произведения площади основания s на высоту h: v=1/3 π r² h=1/3 π(  sinа *l)²▪ соs  а*l=  =1/3 π▪ (sin а)² ▪ l²▪   соs  а l=1/3 π ▪ sinа▪ 1/2 sin 2а  ▪  l³  

пришлось исправлять. надеюсь, не напутала.