Биссектрисы углов, образованных противоположными сторонами выпуклого четырёхугольника перпендикулярны. докажите, что около этого четырёхугольника можно описать окружность

MO - биссектриса и высота, △EMF - равнобедренный, ∠MEF=∠MFE

∠MFE=∠NFC (вертикальные углы) => ∠MEF=∠NFC

∠ANE=∠CNE (NE - биссектриса) => ∠A=∠BCN (из △ANE, △CNF)

Внешний угол равен противоположному внутреннему => ABCD - вписанный четырехугольник.

Из точки В проведём прямую ВЕ, параллельную диагонали АС, Е ∈ AD ⇒  BEAC - параллелограмм, ВС || ЕА, ВЕ || АСЗначит, ВС = ЕА , ВЕ = АС - по свойству параллелограммаАС⊥BD - по условию, ВЕ || АС ⇒ ВЕ⊥BD, AB⊥ED▪В ΔВЕD: пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике ( см. приложение )АВ² = ЕА • АDEA = AB² / AD = 18² / 24 = 13,5 смВС = 13,5 см▪В ΔBAD:  по теореме ПифагораBD² = AB² + AD² = 18² + 24² = 6²•( 3² + 4² ) = 36•25 = 30²BD = 30 смAD² = OD • BD  ⇒  OD = AD² / BD = 24² / 30 = 576 / 30 = 19,2 смBO = BD - OD = 30 - 19,2 = 10,8 см▪В ΔBAD:  AO² = BO • OD = 10,8 • 19,2 = 207,36 AO = 14,4 см▪В ΔАВС:  ВО² = АО • ОС  ⇒  ОС = ВО² / АО = 10,8² / 14,4 = 8,1ОТВЕТ: ВС = 13,5 см ; СО = 8,1 см ; АО = 14,4 см ; ВО = 10,8 см ; DO = 19,2 см.

Объем пирамиды = V = S осн · H / 3

1) найдем H: так как sina = противолежащий катет / на гипотенузу

находим H = sina·L.

2) найти R описанной окружности основания..т.е 2h/3..R= cosa·L=2h/3 = h = (3 cos a · L)/2..

треугольника..a(квадрат)а(квадрат)/4 = h(квадрат)..a = (3 cos a ·L) / корень из 3...подставляем под формулу для вычисления площади треугольника = a ((квадрат) корень из 3 )/4 ..получаем S = 3 cos(квадрат) A · L(квадрат) · корень из 3 / и все деленное 4..теперь все подставляем в формулу V для объема..

V = 3 · Cos(квадрат) А · sin A · L (куб)· корень из 3 и все деленное на 4