Углы четырехугольника пропорциональны числам 3, 6, 2, 4. найдите меньший угол четырехугольника. 1) 72° 2) 24° 3) 48° 4) 144°

Правильный ответ 48. Так как на 1 часть приходится 24 градуса и наименьший данный коэффициент - 2, то мы умножаем 24 на 2, получая 48.

Пусть ∠EOC = α
Тогда ∠BEC = α/2 - угол, между касательной и хордой равен половине дуги, которую отсекает хорда. Дуга равна центральному углу, т.е α

ΔOEC - прямоугольный (ОЕ - радиус в точку касания)
∠ECO = 180° - 90° - ∠EOB = 90° - α
CK - биссектриса  ⇒   
∠KCE = ∠ECO / 2 = (90° - α) / 2 = 45° - α/2
∠KEM = 90° - вписанный угол опирается на половину окружности 180°

ΔKEC
∠KCE = 45° - α/2
∠KEC = ∠KEM + ∠MEC = 90° + α/2
∠EKC = 180° - (45° - α/2) - (90° + α/2) = 180° - 45° - 90° = 45°

ΔKEM
∠KEM = 90°
∠EKM = ∠EKC = 45°
∠EMK = 180° - 90° - 45° = 45°
∠EKM = ∠EMK = 45°   ⇒   ΔKEM  - равнобедренный

Пусть х см- 1 катет, а у см- 2 катет.
Тогда решим систему уравнений:
1)
{х+у=11
{х^2+у^2=61
2)
{х^2+2*х*у+у^2=121
{х^2+у^2=61
3)
{-х^2-2*х*у-у^2=-121
{х^2+у^2=61
4)
{-2*х*у=-60
{х+у=11
5)
{х*у=30
{х+у=11
6)
{х=11-у
{(11-у)*у=30
•Рассмотрим отдельно вот это уравнение:
(11-у)*у=30
-у^2+11у-30=0
D=121-4*(-1)*30=441
y1=(-11+21)/2=5
y2=(-11-21)/2=-16
Второй корень не подходит по смыслу задачи (катет не может быть отрецателен).
Значит, вернёмся к системе:
7)
{у=5
{х=6
Итак, катеты найдены, теперь по формуле площади прямоугольного треугольника:
S=1/2*a*b, где a и b - его катеты.
S=1/2*5*6=15 см^2.
ответ: 15 см^2.