Докажите, что четырёхугольник с вершинами а(0; 1), в(4; 3), с(5; 1) и d(1; -1) является прямоугольником

найдем координаты середины диагоналей четырехугольника abcd:

 

середина диагонали ас

x=(0+5)/2=2.5

y=(1+1)/2=1

(2.5; 1)

 

середина диагонали bd

x=(4+1)/2=2.5

y=(3+(-1))/2=1

(2.5; 1)

 

таким образом диагонали четырехугольника пересекаются в точке, что делит их пополам, поэтому за признаком парарлелограмма четырехугольник авсd - парареллограм

 

найдем длины диагоналей

ac=((5-0)^2+(1-1)^2)=5

bd=((4-1)^2+(-1-3)^2)=5

 

диагонали параллелограма abcd равны аc=bd, за признаком прямоугольника abcd- прямоугольник. доказано

Площадь  австралии   составляет  7 682 300 кв км , что примерно равно территории сша, не включая аляску.  австралия   состоит из собственно материка, острова  тасмания   на юге и множества небольших островов, разбросанных вдоль побережья. она омывается тихим океаном с востока и юга, индийским – с запада и арафурским морем с севера.

при этом  население  всего около  18 млн. человек, причем 88% живутв городах.  австралия  – один из самых древних материков. более 250 миллионов лет здесь беспрерывно идут процессы эрозии, что сделало континент почти плоским

Т. к. треугольник правильный, то все медианы являются биссектрисами и высотами.

Правильный треугольник - треугольник у которого все стороны равны.

Сначала найдем медиану (в правильном треугольнике все медианы равны) по теореме Пифагора. Пусть сторона треугольника а, по условию a = 3*√3.

Пусть длина медианы m. Тогда по т. Пифагора имеем:

m² = a² - (a/2)² = a² - (a²/4) = (3/4)*a²,

m = √(3a²/4) = (a/2)*√3.

m = (3*√3/2)*√3 = 3*3/2 = 9/2.

По известной теореме: медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины, отсюда найдем AO.

AO = (2/3)*m = (2/3)*(9/2) = 3.

Треугольник AMO - прямоугольный, т.к. MO - перпендикуляр к плоскости ABC, поэтому AO⊥MO. По условию MO = √3.

∠MAO -  искомый угол. Из прямоугольного треугольника AMO найдем:

tg(∠MAO) = MO/AO = (√3)/3 = 1/(√3),

∠MAO = arctg(1/√3) = 30°.

Пояснение:

тригонометрические функции углов 30°, 45°, 60° - известны их надо запомнить.