Дан куб abcda1b1c1d1. o - точка пересечения диагоналей грани a1b1c1d1. докажите, что прямые ao1 и bd перпендикулярны. 12 !

A₁C₁ лежит в плоскости А₁В₁С₁, прямая B₁O пересекает эту плоскость в точке В₁, не лежащей на прямой А₁С₁, значит эти прямые скрещивающиеся.

АА₁║СС₁ и АА₁ = СС₁, АА₁⊥А₁В₁С₁, а значит и А₁С₁, ⇒

АА₁С₁С - прямоугольник, ⇒ АС║А₁С₁.

Тогда угол между прямыми АС и В₁О равен искомому углу между прямыми А₁С₁ и В₁О.

BD⊥АС как диагонали квадрата, ⇒ и ВО⊥АС,

ВО - проекция В₁О на плоскость основания, значит и В₁О⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.

Значит В₁О⊥А₁С₁.

1)
Произведением вектора a→ на число k ( k ≠0) называется вектор b→, модуль которого равен ∣∣∣b→∣∣∣=∣∣k∣∣⋅∣∣a→∣∣, при этом:
- векторы a→ и b→ сонаправлены, если >0;
- векторы a→ и b→ противоположно направлены, если <0.
2) Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:

b || a - вектора b и a параллельны
a↑↑b, если k > 0 - вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 - вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| - модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

 bc=b1c1, и am, a1m1 - медианы, то
bm=cm=b1m1=c1m1.
Рассмотрим треугольники abm и a1b1m1. Они равны по трем сторонам:
- ab=a1b1 по условию;
- am=a1m1 по условию;
- bm=b1m1 как только что доказано.
У равных треугольников abm и a1b1m1 равны соответственные углы amb и a1m1b1. Значит, углы amc и a1m1c1, равные 180-<amb и 180-<a1m1b1, также равны между собой.
Треугольники amc и a1m1c1 будут равны по двум сторонам и углу между ними:
- am=a1m1 по условию;
- сm=c1m1 как было показано выше;
- углы amc и a1m1c1 равны как доказано выше.
У равных треугольников amc и a1m1c1 равны соответственные стороны ac и a1c1.
Таким образом, треугольники abc и a1b1c1 получаются равными по трем сторонам.