Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 10

S=d1*d/2
S=
=20

А) Перпендикуляр из B на AD попадает в середину E отрезка AD (следует из равнобедренности треугольника ABD). По той же причине перпендикуляр из C на AD попадает в ту же точку E. Значит, вся прямая BC лежит в плоскости, перпендикулярной AD⇒ BC⊥AD.

 б) Опуская перпендикуляры из A и D на BC, оба раза попадаем в середину F отрезка BC, поскольку треугольники BAC и BDC равнобедренные (даже равносторонние).  Значит, BC⊥плоскости AFD, то есть AFD - искомая плоскость. AF=DF=5√3/2; AD=4. Найдя с теоремы Пифагора высоту этого треугольника, опущенную из вершины F
(H^2=(5√3/2)^2-2^2=59/4; H=(√59)/2; находим и площадь

S=(1/2)·4·(√59)/2=√59

Дано: АВСА₁В₁С₁ - прямая призма,

           ΔАВС: АВ = ВС = b, ∠ВАС = α,

           ∠АА₁С = φ.

           Цилиндр вписан в призму.

Найти: Объем цилиндра.

Если цилиндр вписан в призму, то основания цилиндра вписаны в основания призмы, а высоты равны.

Радиус основания цилиндра - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Пусть ВН - высота ΔАВС. А так как он равнобедренный, то и медиана.

ΔВСН: СН = ВС · cosα = b · cosα.

AH = CH = b·cosα

AC = 2b·cosα

Центр вписанной окружности - точка О - точка пересечения биссектрис.

АО - биссектриса угла А, ОН - радиус вписанной окружности,  ∠ОАН = α/2.

ΔАОН:   ОН = АН · tg(α/2)

              r = b·cosα · tg(α/2)

ΔAA₁C: AA₁ = AC · ctg φ - высота призмы и цилиндра,

            h = 2b·cosα · ctgφ

Vцил = πr²h

Vцил = π ·  (b·cosα · tg(α/2))² ·  2b·cosα · ctgφ

Vцил = 2b³π·cos³α · tg²(α/2) · ctgφ