Три паралельні площини а і в, у перетинають дві мимобвжні прямі а і b у точках а1, а2, а3 та в1, в2, в3 відповідно. а2лежить між точками а1 іа3, а точка в2 між точками в1, в3. знайти в1в3, якщо а2а3=2см, в1в2=8см, а1а2=в2в3

Проведем прямую с || прямой b и пересекающую а в точке А2. По теореме о || прямых и точке в одной плоскости она единственная.

Три плоскости ||ны, значит С1С2=В1В2, С2С3=В2В3 и соответственные углы равны, т.е. такое построение равносильно переносу прямой b параллельно самой себе в точку А2. Прямые а и b стали пересекающимися, через них можно провести плоскость и только одну.

Соединим точки А1 и В1, А3 и В3, получим треугольники А1А2(В2)В1 и А3А2(В2)В3 в этой плоскости.

Они подобны по признаку равенства внутренних накрестлежащих и вертикальных углов, тогда отношение соответственных сторон:

А1А2/А2А3=В1В2/В2В3, и по условию можно записать В2В3²=2*8=16, откуда В2В3=4, а В1В3=4+8=12 -ответ

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и BC в точках K и P соответственно. 
Отрезки AP и KC пересекаются в точке F . Найдите радиус окружности, если угол ABC равен 7°, угол AKC меньше угла AFC на 23°, AC =12.
Решение.   
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. (теорема)
∠ АВС= (γ-β):2⇒   2∠ АВС= γ-β 
γ-β=14º
γ=14º+β  Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. ( теорема)
∠AFC= (γ+β):2 
∠ АКС - вписанный и равен половине величины дуги  γ, на которую опирается.
∠AKC=γ:2 
∠AFC- ∠AKC=23º  
(γ+β):2 - γ:2=23º  
β/2=23º  ⇒  β=2*23º=46º 
Так как   γ=14º+β то 
γ=14º+46º=60º
∠AKC=60º:2=30º
Треугольник АКС -вписанный. По т.синусов
 2R=AC:sin∠ АКС
2R=12:0,5
2R≈24
R≈12

Дано:                                     Решение:
АВСД-трапеция        1) т.к. АВ=СД=2см- трапеция равноб.
АВ=СД=2см               2) Отсюда ∠А=∠Д, ∠В=∠С
ВС=5см                      3) Проведём высоты трапеции:ВН и СН1
АД=7см                      4) ΔАВН=ΔДСН1-по признаку равенства
Найти:                           прямоугольных треугольников
∠ А,∠В,∠С,∠Д          5)Отсюда: АН=ДН1, возьмём их длины за                                         Х, тогда:
                                     АД=АН+НН1+Н1Д, 7=2х+5,х=1
                                   7)Рассмотрим ΔАВН, по определению
                                       CosA=AH/AB=1/2, CosA=1/2,∠A=60°                                            8) ∠A=∠Д=60°
                                  9) По свойству четырёхугольника:
                                      ∠А+∠В=180°, ∠В=180°-60°=120°
                                      ∠В=∠С=120°
ответ: 60°,60°,120°,120°.