Найдите угол между касательной и хордой, которые проведены из одной точки, если хорда равна половине диаметра окружности.

Очевидно, этот угол равен 30 градусам. Длина хорды равна радиусу. Треугольник с вершинами : центр окружности , концы хорды -равносторонний. Одна из его сторон перпендикулярна касательной. Отсюда ответ: 90-60=30.

Пользуясь рисунком, (см. вложение) и зная, что — диаметр окружности, — хорда окружности, определим .

В окружности половиной диаметра являются радиусы, значит, эти радиусы будут равны и хорде:

В образовавшемся треугольнике получается, что все три стороны по длине равны, следовательно, этот треугольник является равносторонним, у которого все углы равны по .

Как известно, точка касания касательной к окружности и радиуса окружности пересекаются под прямым углом ().

Отсюда следует, чтобы узнать , нужно найти разность развёрнутого угла () от суммы других известных углов:

ответ: 30°

1. Неверно - в р.б трапеции углы должны быть равными при одном основании, но т.к в условии этого не указано, то к этому утверждению можно отнести прямоугольную трапецию.
2. Неверно - один из неизвестных углов может быть тупым 
 
рассмотрим два случая, например, с углом в 40*
а) угол в 40* находится при основании, тогда:
второй угол при основании тоже 40*
угол напротив основания:
180-40*20=100* он тупой(больше 90*) 
б) угол в 40* находится напротив основания, тогда:
углы при основании равны:
(180-40)/2=70* 
3.Неверно -  вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.
4.Неверно -  центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
5. Неверно - потому что в ромбе может не соблюдаться основное условие:
 около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.  
6. Неверно -  только если это не квадрат, только в этом прямоугольнике стороны будут касаться окружности. 
7. Верно - в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов при одной какой то стороне равна 180*.

а) У равнобедренного треугольника углы при основании равны; Пусть угол при основании - х, тогда

х+х+30=180(сумма всех углов треугольника = 180°)

2х+30=180

2х=150

х=75

ответ: угол при основании равен 75°

б) 2 варианта решения:

1) Если угол при вершине, противолежащий основанию = 40°, тогда угол при основании - х

2х+40=180

2х=140

х=70;

ответ: остальные углы равны 70°

2) Если угол при основании = 40°, тогда второй угол при основании также равен 40°. Пусть угол противолежащий основанию - х, тогда

40+40+х=180

80+х=180

х=180-80

х=100; ответ: угол, противолежащий основанию равен 100°

в) Угол при основании равен 30°, тогда второй угол при основании также равен 30°(т.к. треугольник равнобедренный)

пусть угол, противолежащий основанию - х, тогда

30+30+х=180

60+х=180

х=180-60

х=120

ответ: угол, противолежащий основанию равен 120°