Вкубе abcda₁b₁c₁d₁ точки e, f, m - середины ребер аa₁, ab, сс₁. найти угол между плоскостями efd i a₁d₁m. прямоугольная система введена таким образом, что начало координат находится в точке d, a положительные направления осей ох, oy, oz ребра da, dc, dd₁, aa₁ = 1

На основании принятой системы координат определяем координаты точек, лежащих на заданных плоскостях и по ним находим уравнения плоскостей.

E(1; 0; 0,5), F(1; 0,5; 0), D(0; 0; 0).

Плоскость EFD:

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xE y - yE z - zE

xF - xE yF - yE zF - zEA

xD - xE yD - yE zD - zE

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1         y - 0             z - 0,5

1 - 1         0,5 - 0     0 - 0,5

0 - 1   0 - 0      0 - 0,5

 = 0

x - 1      y - 0       z - 0,5

0     0,5        -0,5

-1      0                -0,5

 = 0

( x - 1) 0,5·(-0,5)-(-0,5)·0  -  (y - 0) 0·(-0,5)-(-0,5)·(-1)  +  (z - 0,5) 0·0-0,5·(-1)  = 0

(-0,25) x - 1  + 0,5 y - 0  + 0,5 z - 0,5  = 0

 - 0,25x + 0,5y + 0,5z = 0

EFD : x - 2y - 2z = 0.

A₁(1; 0; 1), D₁(0; 0: 1), M(1; 1; 0,5).

Плоскость A1D1M:

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA1      y - yA1       z - zA1

xD - xA1        yD - yA1       zD - zA1

xM - xA1       yM - yA1      zM - zA1

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1              y - 0               z - 1

0 - 1              0 - 0                1 - 1

1 - 1                1 - 0              0,5 - 1

 = 0

x - 1       y - 0      z - 1

-1         0            0

0         1      -0,5

 = 0

(x - 1) 0·(-0,5)-0·1  -  (y - 0) (-1)·(-0,5)-0·0  +  (z - 1)  (-1)·1-0·0  = 0

0 x - 1  + (-0,5) y - 0  + (-1) z - 1  = 0

 - 0,5y - z + 1 = 0

 A1D1M: - y - 2z + 2 = 0.

Вычислим угол между плоскостями  

x - 2y - 2z = 0 и  

- y - 2z + 2 = 0

cos α =   |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²))  

cos α =   |1·0 + (-2)·(-1) + (-2)·(-2)| /(√(1² + (-2)² + (-2)²)*√(0² + (-1)² + (-2)²))  =

=   |0 + 2 + 4| /(√(1 + 4 + 4)*√(0 + 1 + 4))  =

=   6/(√9*√5)  =   6 /√45  =   2√5/5  ≈ 0,8944272.

α = 26,56505°

Основание треугольника сечения - это диагональ d квадрата основания.

Она равна 18√2 см. Высота пирамиды делит её пополам.

Поэтому d/2 = 9√2 см.

Находим длины боковых рёбер L:

2L² = d².Отсюда L = √(d²/2) =d/√2 = 18√2/√2 = 18 см.

Находим высоту Н пирамиды:

Н = √(L² - (d/2)²) = √(18² - (9√2)²) = √(324 - 162) = √162 = 9√2 см.

(это можно было найти и короче: ведь сечение - равнобедренный прямоугольный треугольник и его высота равна половине гипотенузы).

Получаем ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*18*18*9√2 = 972√2  ≈ 1374,62 см³.

Основание треугольника сечения - это диагональ d квадрата основания.

Она равна 18√2 см. Высота пирамиды делит её пополам.

Поэтому d/2 = 9√2 см.

Находим длины боковых рёбер L:

2L² = d².Отсюда L = √(d²/2) =d/√2 = 18√2/√2 = 18 см.

Находим высоту Н пирамиды:

Н = √(L² - (d/2)²) = √(18² - (9√2)²) = √(324 - 162) = √162 = 9√2 см.

(это можно было найти и короче: ведь сечение - равнобедренный прямоугольный треугольник и его высота равна половине гипотенузы).

Получаем ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*18*18*9√2 = 972√2  ≈ 1374,62 см³.