30 . в треугольнике abc со сторонами ab=4 , bc = 12 биссектриса bd равна 3. чему павна сторона ac?

Мы знаем, что биссектриса внутреннего угла делит стороны на отношение прилежащих к углу сторон:
AB/BC=АD/DC

Значит
AD/DC=AB/BC=4/12=1/3.
AD/DC=1/3
DC=3*AD. (1)

Также
BD²=AB*BC-AD*DC

Значит
3²=4*12-AD*DC
9=48-AD*DC
AD*DC=48-9=39. (2)
Используем (1) и (2):
АD*3*AD=39
AD²=39:3=13
AD=√13

Так как DC=3*AD, то
DC=3*√13

И, наконец, раз AC=CD+DA, то
АС=√13+3*√13=4√13
ответ: 4√13

Для любой правильной призмы справедливы формулы:

Площадь боковой поверхности:

Sбок = Pосн · h, где

Росн - периметр основания,

h - высота.

Площадь полной поверхности:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Объем:

V = Sосн · h

____________________

a - сторона основания.

____________________

Правильная треугольная призма:

в основании лежит правильный треугольник, значит

Sосн =

Sбок = 3а · h

Sполн = 3a · h + 2 · a²√3/4 = 3ah + a²√3/2

____________________

Правильная четырехугольная призма:

в основании - квадрат, значит

Sосн = a²

Sбок = 4ah

Sполн = 4ah + 2a²

V = a²h

____________________

Правильная шестиугольная призма:

Sосн =

Sбок = 6ah

Sполн = 6ah + 2 · 3a²√3/2 = 6ah + 3a²√3

Я тоже тут отмечусь, уж простите :)
Треугольник ABC, стороны (противолежащие углам) a, b, c,
Точка K делит сторону BC = a на отрезки CK = x и BK = a - x;
Точка M делит сторону AC = b на отрезки AM = y и CM = b - y;
Точка N делит сторону AB = c на отрезки BC = z и AC = c - z;
Получается из условия деления периметра пополам
b + x = c + a - x; x = (c + a - b)/2 = p - b; CK = p - b;
где p - полупериметр ABC; p  = (a + b + c)/2;
a - x = BK = p - c;
Аналогично
AM = p - c; CM = p - a;
BN = p - a; AN = p  - b;
То есть AN*BK*CM/(BN*AM*CK) = (p - b)*(p - c)*(p - a)/((p - a)*(p - c)*(p - b)) = 1;
Остается сослаться на обратную теорему Чевы.