Втрапеции abcd ad - большее основание . прямые проходящие через середины сторон ab, bc, dc перпендикулярно к этим сторонам, пересекаются в точке o; угол bcd = 150° , ab=a , bc=b, ad=c. найдите площадь трапеции.

//////////////////////////////////////////////////////////

Для решения данной задачи нужно использовать несколько шагов.

1. Сначала найдем длины сторон трапеции. Из условия задачи известно, что abcd - в трапеции, а ad - большее основание. Поэтому ab = ad, то есть a = c. Также известно, что bc=b.

2. Построим прямые, проходящие через середины сторон ab, bc и dc, и перпендикулярные к этим сторонам. Такие прямые называются медианами. Пересечение всех трех медиан происходит в точке o.

3. Для удобства обозначим точку пересечения медиан как точку O.

4. Так как O - точка пересечения медиан, она является также центром тяжести трапеции abcd.

5. Так как O - центр тяжести трапеции, он делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, если отрезок медианы, соединяющий середину стороны ab и точку O, равен x, то отрезок O до середины ab будет равен 2x.

6. Используя данный факт, найдем длины отрезков O до середины сторон ab, bc и dc. Пусть эти отрезки равны p, q и r соответственно.

7. Так как стороны трапеции равны a, b, c, то длины отрезков, соединяющих точки O и середины сторон трапеции, будут равны 2p, 2q и 2r.

8. Заметим, что полученные отрезки 2p, 2q и 2r являются высотами треугольников, образованных медианами трапеции abcd.

9. Поскольку угол bcd равен 150°, а угол bco - перпендикулярный угол, a bdo - прямой угол, то угол bdo будет равен 180° - 150° = 30°.

10. Далее, применим формулу площади треугольника: S = 0.5 * a * h, где S - площадь треугольника, a - основание треугольника, h - высота.

11. Найдем площади треугольников, образованных медианами треугольника abcd: S1, S2 и S3.

12. По формуле S1 = 0.5 * a * 2p, S2 = 0.5 * b * 2q и S4 = 0.5 * c * 2r.

13. Очевидно, что площадь трапеции равна сумме площадей трех треугольников, образованных медианами треугольника abcd: S = S1 + S2 + S3.

14. Подставим значения площадей треугольников и упростим выражение: S = 0.5 * a * 2p + 0.5 * b * 2q + 0.5 * c * 2r.

15. Заменим длины отрезков p, q и r на 1/3 длины соответствующей медианы, так как O делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть p = 1/3 * x, q = 1/3 * x, r = 1/3 * x.

16. Подставим значения p, q и r в формулу для площади треугольников: S = 0.5 * a * 2 * (1/3 * x) + 0.5 * b * 2 * (1/3 * x) + 0.5 * c * 2 * (1/3 * x).

17. Упростим выражение: S = 0.5 * a * 2/3 * x + 0.5 * b * 2/3 * x + 0.5 * c * 2/3 * x.

18. Объединим коэффициенты 0.5 и 2/3: S = (0.5 * 2/3) * (a + b + c) * x.

19. Заметим, что a + b + c это периметр трапеции abcd, который можно обозначить как P: S = 1/3 * P * x.

20. Окончательным шагом будет замена x на c, так как отрезок, соединяющий точку O и середину стороны dc, равен 2r, то есть 2/3 * dc: S = 1/3 * P * (2/3 * dc).

21. Подставляем данные из условия задачи: S = 1/3 * (a + b + c) * (2/3 * c).

Таким образом, площадь трапеции равна 1/3 от произведения периметра трапеции на 2/3 длины меньшего основания.