Периметр треугольника abc равен 65 см. сторона ac больше стороны bc в 4 раза и меньше стороны ab на 2 см. найдите длины сторон треугольника abc

Пусть ВС=х см, тогда АС=4х см, АВ=4х+2 см. Имеем уравнение:

4х+х+4х+2=65

9х=63

х=7

ВС=7 см, АС=28 см, АВ=30 см.

острые углы прямоугольного треугольника. Один из них равен 180° / 3 = 60°, потому что в заданном равностороннем треугольнике все углы равны. Второй равен 60° / 2 = 30°, потому что высота h делит угол на две равные части.

Вырази сторону a через высоту h. Угол между этим катетом и гипотенузой a — прилежащий и равен 30°,  Поэтому h = a * cos 30°. Противолежащий угол равен 60°, поэтому h = a * sin 60°. Отсюда a = h / cos 30° = h / sin 60°. 

cos 30° = sin 60° = √3 / 2. Тогда a = h / cos 30° = h / sin 60° = h / (√3 / 2) = h * 2 / √3.

S = (1 / 2) * a * h = (1 / 2) * (h * 2 / √3) * h = h² / √3.

h = 12 см. Тогда S = 12 * 12 / √3 = 144 / 1,73 = 83,24 см.

               В                     С

                   О

А                     Д

Сначала рассматриваем треугольники ВОС и АОД, ОД:ВО=10:15=2:3 и АО:СО=12:18=2:3 (для параллельности АО должно быть 12, а СО=18). Треугольники подобны по сторонам и углу между ними (угол ВОД=АОД - вертикальные). У подобных треугольников углы равны: угол СОВ=АОД и  ДАО=ВСО. Первые углы образованы при пересечении прямых ВС и АД секущей ВД. вторые прмых ВС и АВ секущей АС. Равенство внутренних накрестлежащих углов - свойство параллельных прямых.

Из треугольников АОВ и ДОС аналогично доказываем АВ||СД  .