Заранее . катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см, а гипотенуза 10 см. найдите расстояние от середины гипотенузы до большего катета.

Расстояние от середины гипотенузы до большего катета будет перпендикуляром проведенным из середины гипотенузы, который параллелен меньшему катету, а следовательно является средней линией.

Средняя линия равна половине основания  6 / 2 = 3

Задания и вопросы на сервисе повторяются. Решение этой задачи я уже давала. Повторяю его с незначительными изменениями.  
----------------

Обозначим точку пересечения биссектрисы  с АD буквой Н. 

В ᐃ АВD биссектриса ВН  ⊥ АD,⇒  ВН -  высота,⇒ 

ᐃАВD равнобедренный.   Поэтому ВН медиана и  делит АD пополам. 

АН=НD=84. 

АД медиана, значит,  ВD=DС. Так как  АВ=ВД, то АВ=ВD=DС, и ВС=2АВ. 

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

В ᐃАВС  биссектриса делит АС в отношении АВ:ВС=1:2 и АС=3 АE 

Проведем ВР параллельно АС  до пересечения с продолжением медианы АD в точке P.

ᐃ ВDР =ᐃ АDС  т.к. ВD=DС, углы при D равны как вертикальные, ∠СВP=∠ВСА как накрестлежащие  ⇒ ВР=АС=3 АE

Треугольники АНE и BНP прямоугольные и подобны по равенству углов

( ∠ ВPА=∠PАС как углы при параллельных АС и ВP и секущей ВС). 

АE:ВP=НE:ВН=1:3

ВН=3НE

ВЕ=4НЕ

НE=ВE:4=42

 ВН=3*42=126

Из ∆ АНE

АE=√(АН²+НE²)

АE=√(84²+42²)

Возвести большое число в квадрат и извлечь корень из него можно   разложением числа на множители.

АE=√(6²14²+3²*14²)=√14²(6²+3²)=14*3√5=42√5

АС=3*42√5=126√5

Из ∆ АВН

АВ=√(ВН²+АН²)

АВ=√(9²*14²+6²*14²)=√14²(9²+6²)=14*√(9*13)=42√13

ВС=2АВ=84√13

Найдены все три стороны. 

Сегодня такая же задача была на экзамене у меня.  Пусть O - точка пересечения медианы и биссектрисы.  Нам нужно найти стороны AB, BC и AC.
Медиана AD делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника : S ADC = S ADB = 1/2 S ABC.
 Соединим точки E и D . Отрезок ED будет являться медианой треугольника BEC значит S DBE = S EDC .

Рассмотрим треугольник ABD : 1) В нём углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса, но BO ещё и является высотой треугольника, так как BE ⊥ AD.
2)Поэтому треугольник ABD равнобедренный и AB = BD. 3) Медиана BO делит основание AD на два равных отрезка AO=OD=136 / 2=68.

 Рассмотрим треугольники ABE и DBE: 1) В них углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса . BE общая сторона , AB = BD 2) Треугольник ABE равен треугольнику DBE по первому признаку,поэтому S ABE = S DBE = S EDC = 1/3 S ABC.
 S ABE = 1/2 * BE * AO =1/2 * 136 * 68 = 4624.
S ABC= 3 S ABE = 4624 * 3 = 13872.
S ABD = 1/2 S ABC = 13872 / 2 = 6936.
S ABD= 1/2 * AD * BO = 6936 ===> 68 * BO = 6936 = => BO = 102.

Рассмотрим треугольник ABO : 1) В нём угол BOA = 90° так как BO ⊥ AD.
2) Поэтому треугольник ABO прямоугольный и по теореме Пифагора находим AB = √(BO² + AO²)=  √(10404 + 4624)= √15028= √(4 * 13 * 17 *17) = 34*√13.
Так как AD - медиана,то BD = DC = AB =34*√13. Поэтому сторона BC равна 2 * AB = 68 *√13.
Осталось найти последнюю сторону AC
Рассмотрим треугольник AEO:
1) В нём угол AOE=90 , OE= BE- BO = 136 -102 = 34.
2) Поэтому треугольник AEO прямоугольный , и по теореме пифагора находим гипотенузу AE . AE = √( 0E² + AO ²)= √( 1156 + 4624)=√5780=√(5* 4 * 17 * 17) = 17* 2 *√5 = 34*√5.

Так как BE - биссектриса, то  она делит сторону AC на отрезки, которые одинаково относятся к прилегающим им сторонам AB и BС , тоесть  AE/AB = EC/BC. (34 * √5) / (34 * √13) = EC / (68 * √13) . Если всё сократить и воспользоваться свойством пропорции получаем ,что EC =68 * √5 .
AC = AE + EC = (68 *√5) + (34 * √5 )=√5 * ( 68 + 34 ) = 102 * √5.

ответ : AB = 34 * √13, BC = 68 * √13, AC = 102 * √5.