Даны координаты вершин пирамиды авсд. а(5; -1; 4), в (9; 3; -6), с (7; 10; -14), д (5; 1; -3) требуется : 1) записать векторы ав, ас, ад в системе орт и найти модули этих векторов 2) найти угол между векторами ав и ас 3) найти проекцию вектора ад на вектор ав 4) найти площадь грани авс 5) найти объем пирамиды авсд подробно !

1) Координаты векторов находим по формуле:  

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi  

здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;  

Например, для вектора АВ

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1  

X = 9-5; Y = 3-(-1); Z = -6-4  

АВ(4;4;-10),     АС(2;11;-18),     АД(0;2;-7).

2) Угол а между векторами АВ и АС равен.

Модули: АВ =√(16 + 16 + 100) = √132 = 2√33.

               АС = √(4 + 121 + 324) = √449  

cos a = (4*2 + 4*11 + (-10)*(-18))/(√132*√449) = (8 + 44 + 180)/(59268) = 232/243,4502 = 0,952967.

а = arc cos 0,952967 = 0,307917 радиан = 17,642339 градуса.

3) Проекция вектора АД на вектор АВ.

Решение:  Пр ba =  (a · b)/|b|.

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · 4 + 2 · 4 + (-7) · (-10) = 0 + 8 + 70 = 78

Модуль вектора b = АВ определён и равен √132 = 2√33.

Пр ba =  78/(2√33) =  13√33 / 11   ≈ 6.78903.

4) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

Векторное произведение:  

i j k

4 4 -10

2 11 -18

=  i(4(-18)-11(-10)) - j(4(-18)-2(-10)) + k(4*11-2*4) = 38i + 52j + 36k.

S = (1/2)√√(38² + 52² + 36²) = (1/2)√(1444 + 2704 + 1296) =                            √5444  ≈ 36,89173.

5) Объем пирамиды АВСД равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) =  (38; 52; 36), АД(0;2;-7) - определено выше.

(АВ х АС) х АД = |38*0 + 52*2 + 36*(-7)| = 148

S = (1/6)*148 = 24,6667.

Определите периметр прямоугольника,  если его диагональ равна 2√10 м, а площадь 12 м²

Вариант решения (если уже знакомы с теоремой косинусов)

Площадь параллелограмма, а прямоугольник, как известно, - параллелограмм,  можно найти разными в том числе по формуле 

S=0,5•d₁•d₂•sin α /2, где d₁и d₂ - диагонали, α- угол между ними. 

В прямоугольнике диагонали равны, поэтому 

S=0,5•d²•sin α

12=0,5•(2√10)²•sin α⇒

sin α=2S:d²=24: 40=0,6

sin²α+cos²α=1⇒

cos α=√(1-0,36)=0,8 

Теорема косинусов. 

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними

Эта формула позволяет вычислить длину одной из сторон треугольника по данным длинам двух других сторон и величине угла, лежащего против неизвестной стороны.

Пусть данный прямоугольник АВСД, и О – точка пересечения  его диагоналей.

АВ²=ВО²+АО²-2•BO•AO•cos α

В прямоугольнике  диагонали  равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому АО=ВО=d/2=√10⇒

Тогда

  AB²=10+10-2•(√10)•(√10)•0,8⇒

АВ²=4

АВ=СД=2 м

Из другой формулы площади прямоугольника

  S=a•b найдем вторую сторону:

S=АД•AB

12=АД•2

ВС=АД=12:2=6 м

Р=2(AB+BC)=16 м

Центр вписанной окружности треугольника = точка пересечения его биссектрис. В правильном треугольнике биссектрисы, высоты и медианы совпадают. По свойству медианы треугольника, точкой пересечения они делятся в соотношении 2:1
Поэтому радиус вписанной окружности правильного треугольника равен 1/3 длины высоты.   r = h/3
Отсюда  h = 3r = 3×2√3 = 6√3
Высота правильного треугольника образует с его сторонами прямоугольный треугольник. Угол, противолежаший высоте, равен 60°, сторона правильного треугольника является гипотенузой
Отсюда длина стороны треугольника:
a = h / sin 60° = 6√3 / (√3/2) = 12