Средняя линия равнобедренной трапеции равна 8см, диагональ - 10см. найдите площадь трапеции!

ответ: 48 см²

Объяснение:

Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, АВ - средняя линия, АВ=8 см, КР=10 см. Найти S(КМРТ).

Проведем высоты МН и РС.

ΔКМН=ΔТРС по катету и гипотенузе, значит КН=СТ.

КН=СТ=(КТ-СН)/2=(КТ-МР)/2

КС=КН+СН=((КТ-МР)/2)+МР=(КТ-МР+2МР)/2=(КТ+МР)/2=АВ=8 см.

ΔКРС - прямоугольный;  КР=10 см, КС=8 см, значит РС=6 см (египетский треугольник)

S(КМРТ)=АВ*РС=8*6=48 см²

Положим что CAB=a ,тогда из условия CEA=a.
Выразим углы CIM , CKI через a , ACE=180-2a , так как ACB=90 , то BCE=90-(180-2a)=2a-90 , CL-биссектриса , значит EC=KCI=BCE/2=a-45 , аналогично CEL=CEB/2=(180-CEA)/2=90-(a/2) , значит CIK=ECI+CEI=45+(a/2) , откуда CKI=180-(3a/2).
То есть углы в треугольнике IKC равны
I=a/2+45 , C=a-45 , K=180-(3a/2)
По условию IKC равнобедренный , значит надо проверить три условия равенства углов
1) I=C
2) C=K
3) I=K
Подходит только I=K (решая уравнения) , откуда a=135/2
Найдём угол CLK=180-(a-45+180-a)=45 . Получаем
AC/sin45=CL/sina
CL/AB=AC*sina/(AB*sin45)=2*cosa*sina/sqrt(2)=sin(2a)/sqrt(2)=sin135/sqrt(2)=1/2
ответ CL/AB=1/2

Відповідь:

3 см

Пояснення:

Відомо, що коло, вписане в трикутник, точками дотику до сторін відділяє рівні відрізки зі сторони кожної вершини.

Також відомо, що висоти - радіуси, проведені із центра такого кола в прямокутному трикутнику до катетів утворюють з відрізками від точок дотику до вершини прямого кута квадрат зі стороною, рівною радіусу вписаного кола.

Згідно з умовою, позначимо AF як 2x, FB як 3x, тоді

r=9-2x

За теоремою Піфагора складемо рівняння:

9²+ (9-2х+3х)²=(2х+3х)²

81+(9+х)²=25х²

81+81+18х+х²-25х²=0

24х²-18х-162=0

4х²-3х-27=0

Дискрімінант: Д=9+4*4*27=441=21²

х₁=(3+21)/8=3 см

х₂=(3-21)/8=-2.25 см (не підходить).

Тоді r=9-2·3=3 см