О- центр окружности. угол aob=120° , длина окружности=21см. найдите длину дуги аb (большей и меньшей отдельно)

В окружности с центром в точке О проведена хорда АВ, длина которой равна длине  радиуса. Перпендикулярно этой хорде проведен радиус ОК. Радиус  ОК и хорда В пересекаются в точке Е. Длина отрезка АЕ равна 6,2  см.  Нужно  а) постройте чертеж по условию задачи;  б) найдите длину хорды АВ;   в) вычислите длину радиуса;   г) найдите периметр треугольника АОВ.

Объяснение:

Δ АОВ-равносторонний ,т.к. АВ=ОВ=ОА.

ОК∩АВ=Е ⇒ ОЕ-медиана ΔОАВ, как высота в равнобедренном треугольнике  ⇒   АЕ=ВЕ=6,2 см  ⇒  АВ=6,2*2=12,4 см.

ОА=ОВ=ОК=R=12,4 см.

Р(тр)=3*12,4=37,2 (см)

№1 (чертёж прилагается)

Дано:

ABCD - параллелограмм.

∠ABC = ∠ADC = 150°

AB = CD = 9 см

BC = AD = 10 см

Найти: S параллелограмма ABCD

∠BAD = ∠BCD = (360° - ∠ABC - ∠ADC) ÷ 2 =

= (360° - 150° - 150°) ÷ 2 = 60° ÷ 2 = 30°   (сумма углов параллелограмма равна 360°)

Опустим высоту BE

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE:

∠A = 30° ⇒ BE = 1/2AB = 4,5 см   (в прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы)

S параллелограмма ABCD = AD × BE = 10 × 4,5 = 45 см²   (площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту опущенную к этой стороне)

ответ: 45 см²

№2

Рассмотрим треугольник CDE:

∠C = 180° - ∠D - ∠E =

= 180° - 45° - 90° = 45°   (сумма углов треугольника равна 180°)

∠C = ∠D ⇒ ΔCDE равнобедренный ⇒

⇒ CE = DE = 4 см

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBF:

∠B = 180° - 90° - 60° = 30°   (сумма углов треугольника равна 180°)

Пусть AF = x

Тогда AB = 2x   (в прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы)

Найдём x:

x² + 4² = (2x)²   (теорема Пифагора)

16 = 4x² - x²

3x² = 16

x² = 16/3

x = 4/√3 = (4√3)/3 см = AF

FE = BC = 3 см

AD = AF + FE + DE = (4√3)/3 + 3 + 4 =

= (4√3)/3 + 7/1 = (4√3 + 21)/3

S трапеции ABCD = (AD + BC)/2 × CE =

= ((4√3 + 21)/3 + 3)/2 × 4 =

= (4√3 + 30)/3 × 2 = (8√3 + 60)/3   (площадь трапеции равна полусумме оснований умноженной на высоту)

ответ: (8√3 + 60)/3

№3 (чертёж прилагается)

Дано:

ABCD - ромб со стороной 15 см

AC = 24 см

Найти: S ромба ABCD

Проведём вторую диагональ.

Диагонали ромба делят друг друга пополам ⇒

⇒ AE = CE = 1/2 AC = 24 ÷ 2 = 12 см

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE:

BE = DE = √(AB² - AE²) = √(225 - 144) =

= √81 = 9 см   (теорема Пифагора)

BD = BE + DE = 9 + 9 = 18 см

S ромба ABCD = (AC × BD)/2 =

= (24 × 18)/2 = 24 × 9 = 216 см²   (площадь ромба равна половине произведения его диагоналей)

ответ: 216 см²