Найти двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если плоскость, проведенная через сторону основания, делит и этот угол, и боковую поверхность пирамиды пополам

Давай с чертежом разберёмся. Цент вписанной в треугольник окружности - это пересечение биссектрис, а центр описанной окружности - это середина гипотенузы ( 90 градусов - это вписанный угол и измеряется половиной дуги, на которую опирается, значит опирается на диаметр окружности)
теперь разбираемся с отношением  r:R  =  4:13
4:13 - это части, которые приходятся на r  и  R . Одну часть примем за х, тогда r = 4x   и    R = 13x. Тогда гипотенуза = 26 х
Теперь считаем, что у нас есть 3 данных: r, R и гипотенуза АС ( АС - диаметр описанной окружности)
Теперь разбираемся с точками касания вписанной окружности и треугольника. Давай с буквами разберёмся.ΔАВС, АС - гипотенуза, АВ и ВС - катеты.На АВ точка касания М, на ВС точка касания N, на АС точка касания К. Рассматриваем отрезки касательных. ВМ = ВN = r = 4x , АМ = АК = y, 
NС = КС = 26x - y
теперь выразим катеты: АВ = 4х + у, ВС = 4х + 26х - у = 30х - у.
Теперь пишем т. Пифагора:
(4х + у)² + ( 30х - у)² = (26у)²
Упрощаем
у² - 26 у + 120 х² = 0
Решаем относительно у
у = 13х +-√(169х² - 120х²) = 13х +-7х
у1 = 20 х     у2 = 6х
а) у1 = 20х
АВ = 4х + у = 24х
ВС = 30х - у = 10х
Теперь ищем отношение катетов: ВС:АВ= 10х : 24х = 5:12
б) у2 = 6х
АВ = 4х + у = 10х
ВС = 30х -у = 24х
Ищем отношение катетов: АВ:ВС=10х : 24Х = 5:12 

МАВС правильная пирамида.
АВ=АС=ВС=3
МА=МВ=МС=√19
О- точка пересечения высот, медиан, биссектрис правильного треугольника (основания пирамиды)
высота правильного треугольника вычисляется по формуле: h=a√3/2
h=3√3/2
высоты, медианы, биссектрисы правильного треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины
АО=(2/3)h
AO=(2/3)*(3√3/2), AO=√3
прямоугольный ΔАОМ:
гипотенуза АМ=√19 
катет АО=√3
катет МО -высота пирамиды, найти
по теореме Пифагора:
АМ²=АО²+ОМ²
(√19)²=(√3)²+ОМ², ОМ²=19-3, ОМ=4
ответ: высота пирамиды =4