Докажите , что четырехугольник abcd является ромбом если a(0, 2, 0) b(1, 0, 0) c(2, 0, 2) d(1, 2, 2)​

 Обозначим через E и F середины оснований AD и BC трапеции ABCD; K - точка пересечения ее диагоналей, M - точка пересечения продолжений боковых сторон .    Заметим, что точки M, E и F лежат на одной прямой. Это следует из подобия треугольников BMC и AMD. В каждом из них отрезки ME и MF соответственно являются медианами, а значит, они делят угол при вершине M на одинаковые части.    Точно так же на одной прямой расположены точки K, E и F. (Здесь это следует из подобия треугольников BKC и DKA.) Значит, все четыре токи M, E, K и F лежат на одной прямой, т.е. прямая MK проходит через E и F. t

Плоскость прямоугольника и плоскость АВК пересекаются по прямой АВ. Прямая СД принадлежит плоскости прямоугольника, но не пренадлежит плоскости АВК. Тут два варианта: либо она параллельна плоскости АВК, либо пепесекает ее.
Теперь теоремма. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой этой плоскости. Так как АВСД прямоугольник, то АВ парал. СД. Поскольку АВ принадлежит плоскости АВК, то прямая СД параллельна плоскости АВК на основании теореммы о параллельности прямой и плоскости.