Через точку м, яка знаходиться на відстані 15 см від центра кола радіуса 17 см, проведено хорду, яка поділяється точкою м на відрізки, довжини яких відносяться як 1 : 4. знайдіть довжину цієї хорди.

Нужно найти периметр прямоугольной трапеции описанной около окружности. Одна сторона трапеции больше второй на 6 см а радиус равен 4 см.
Итак,
АВ=8см, CD=8+6=14см (дано). По свойству окружности, вписанной в трапецию ("если в трапецию вписана окружность радиусом r и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b, то r=√a*b"),  r = √CE*ED. Тогда
ОЕ² = СЕ*ЕD. Итак, имеем: 16=СЕ*ЕD (1), СЕ+ED=14 (2). Подставляя значение ED из (2) в (1) получаем:
СЕ²-14СE-16=0, а решая это квадратное уравнение, находим СЕ = 7-√33см, а ED = 7+√33см. Тогда ВС=4+СЕ, а AD=4+ED (так как СК=СЕ, а FD = DE как касательные к окружности из одной точки).
Отсюда периметр трапеции равен
8+4+(7-√33)+14+4+(7+√33) = 44см.
ответ: периметр трапеции равен 44см.

Если провести общую внутреннюю касательную к этим двум окружностям, то она отсечет от треугольника со сторонами a, b, c подобный ему треугольник.Пусть эта прямая пересекает катет a и гипотенузу с.
Поскольку радиус вписанной в отсеченный треугольник окружности в √2 раз меньше радиуса окружности, вписанной в исходный треугольник, то и стороны его будут в √2 раз меньше. То есть гипотенузу с эта касательная делит на отрезки a/√2 и c - a/√2; 
Если продлить эту касательную и катет b до их пересечения, то получится еще один прямоугольный треугольник с радиусом вписанной окружности, таким же, как у отсеченного, то есть равный ему.
b/√2 = c - a/√2; или  √2 = a/c + b/c = sin(α) + cos(α); 
решить это тригонометрическое уравнение проще простого (возведением в квадрат), но на самом деле решение сразу видно α = 45°;
Это решение было сразу очевидно, но я доказал, что других решений у задачи нет.