Прямая, проходящая через середины диагоналей четырехугольника образует с его сторонами углы 80o и 50o . докажите, что расстояние между серединами диагоналей равно половине одной из сторон четырехугольника.

Искомое расстояние  равно  разности расстояния от вершины прямого угла  до центра окружности  и радиуса вписанной в этот треугольник окружности. Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности 
r=(a+b-c):2 где а и b катеты, а с - гипотенуза.
Чтобы найти радиус, нужно знать гипотенузу. Она равна 17 см ( отношение сторон данного  треугольника из Пифагоровых троек 8:15:17. Можно проверить по т.Пифагора)
r=(8+15-17):2=3 см
Радиус вписанной окружности  перпендикулярен сторонам в точках касания. 
ОН=ОК=3, четырехугольник ОМСК - квадрат. 
Расстояние СО от прямого угла  до центра равно диагонали  d этого квадрата. d=3√2 см
Нет нужды доказывать, что расстояние измеряется перпендикуляром,
СМ ⊥ отрезку касательной в точке М, и М является ближайшей к вершине С точкой вписанной окружности.  
CМ=СО-ОМ=3√2-3=3(√2-1) см

Построим трапецию АВСД удовлетворяющую условиям задачи (угол ВАД = 90, АДС = 30 градусам) и проведем высоту СЕ.  
Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции:
d=СЕ=АВ=8 ед.
Рассмотрим треугольник СДЕ:
угол СЕД = 90, ЕДС = 30 градусам.
Катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Значит СД=2СЕ=2*8=16 ед.
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны, то есть AD+BC=AB+CD.
Площадь трапеции равна S=((a+b) h)/2 (где a и b основания трапеции h высота)  
S=((ВС+АД)*СЕ)/2
Так как AD+BC=AB+CD то площадь данной трапеции равна:
S=((AB+CD)*СЕ)/2
S=((8+16)*8/2=96 кв. ед.