Точки p и q лежат на сторонах bc и cd параллелограмма abcd соответственно, причём bp: bc = 2: 7, cq: qd = 2: 7. отрезки bq и ap пересекаются в точке t. найдите отношения bt: tq и at: tp.

Обозначим соседние стороны прямоугольника за a и b. Тогда P=2(a+b), S=ab - формулы периметра и площади прямоугольника. Таким образом, 2(a+b)=24, ab=34.

Выразим b из первого равенства - 2(a+b)=24 ⇒ a+b=12 ⇒ b=12-a
ab=34 ⇒ a(12-a)=34 ⇒ 12a-a²=34 ⇒ a²-12a+34=0. Решим это квадратное уравнение:

a²-12a+34=0, D=12²-4*34=144-136=8, √D=2√2
a1=(12+2√2)/2=6+√2, a2=(12-2√2)/2=6-√2.

Если a=6+√2, то b=12-6-√2=6-√2. Если a=6-√2, то b=6+√2. Таким образом, одна сторона прямоугольника равна 6-√2, а другая 6+√2. Нетрудно убедиться в том, что периметр и площадь будут равны 24 и 34 соответственно.

Поскольку в условии задачи не указано, лежат ли прямые в одной плоскости или нет, то они необязательно параллельны.

В планиметрии две прямые могут быть параллельными или пересекаться. 

Две прямые в пространстве параллельны друг другу, пересекаются или скрещиваются.

Если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются,  то они - параллельны.

. В стереометрии  две прямые могут не пересекаться, но в то же время не быть параллельными. 

Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися. 

Скрещивающиеся прямые  лежат в параллельных плоскостях,  но плоскость провести через них, как это можно сделать через две параллельные прямые,  невозможно

 Рассмотрим это  на ребрах  куба (см. приложение)