Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетом 5 см і гіпотенузою 13 см всі бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом 45° знайти висоту піраміди

    Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом 5 см и гипотенузой 13 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.  Найдите высоту пирамиды.

ответ: 2 см

Объяснение.

   Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания,  то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга. (теорема).  

    Боковые грани образуют с основанием двугранные углы, величина  которых по условию 45°.Сторонами  их линейных углов  являются высоты боковых граней и радиусы вписанной окружности, которые являются проекцией этих высот на основание и по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярны сторонам треугольника  в одной точке ( см. рисунок приложения.).  Высота пирамиды МО, радиус вписанной окружности  ОН и высота МН боковой грани образуют прямоугольный треугольник МОН. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45°, то второй тоже 45° =>

∆ МОН - равнобедренный и МО=ОН=r .

     Формула радиуса окружности,  вписанной в прямоугольный треугольник, r=(a+b-c):2, где а и b - катеты, с - гипотенуза.  

     Стороны треугольника с гипотенузой 13 и катетом 5 из Пифагоровых троек с отношением сторон 5:12:13. Второй катет АС=12 ( проверьте по т.Пифагора). =>

ОН=r=(5+12-13):2= 2 см.

МО=ОН=2 см ( высота пирамиды)

) Пусть АН - высота треугольника, она же ось симметрии.

Так как вершина А лежит на оси симметрии, она отобразится в себя (т.е. точка А' совпадет с А).

Чтобы отобразить точку В относительно оси АН, надо построить из точки В луч, перпендикулярный АН, а это и есть прямая ВС.

Затем на луче ВН откладываем отрезок НВ', равный ВН, по другую сторону от точки Н.

На луче СН по другую сторону от точки Н откладываем отрезок НС', равный СН.

ΔA'B'C' - искомый.

б) Пусть D - середина АВ.

Проводим луч CD, на котором откладываем отрезок CA' = CD.

На луче AD откладываем отрезок DA' = AD. Так как D - середина АВ, точка A' совпадет с точкой В.

На луче BD откладываем отрезок DB' = BD. Так как D - середина АВ, точка В' совпадет с точкой А.

ΔA'B'C' - искомый.

в) М - точка пересечения медиан треугольника АВС.

Из вершин А, В и С проводим лучи, параллельные АМ. На них откладываем отрезки AA', BB' и CC', равные длине отрезка АМ.

При этом точка А' совпадет с точкой М.

ΔA'B'C' - искомый.

г) Так как С - центр поворота, то точка С отобразится на себя.

Строим окружность с центром в точке С и радиусом ВС.

Строим угол, равный 45° с вершиной в точке С и стороной ВС (против часовой стрелки). Точка пересечения окружности и второй стороны угла - точка В'.

Строим окружность с центром в точке С и радиусом АС.

Строим угол, равный 45° с вершиной в точке С и стороной АС (против часовой стрелки). Точка пересечения окружности и второй стороны угла - точка А'.

ΔA'B'C' - искомый

Объяснение: №1.  а₃=6√3, ⇒ r = а₃/2√√3 = 6√3 /2√√3= 3,    a₆=r=3, ⇒ P₆=3·6=16,  S₃ = a₃²√3/4 = 108√√3/4 = 28√3                                              №2.  a₄ = 5√3, но а₄ =R√2, ⇒ R= 5√3/√2 = 5√6/4; ⇒А₄=2Rtg45°=2R = 5√6/2; ⇒  p₄= 4·5√3= 20√√3,    P₄= 4·5√6/2 = 10√6;   s₄= (5√3)²= 75, S₄= (5√6/2)²=37,5                                                                                                 №3. a₃= 3√5, ⇒ R = a₃/√3= 3√5/√3 = √15;     a₆= 2Rtg(180°/6) = 2√15· √3/3= 2√√5;       P₆= 6·2√5 =12√5;            S₃= а₃²√3/4 = (3√5)²·√3/4 = 45√3/4