1вариант, два , полностью с решением! 25 ​

S= 42 см^2 ; BD= 6см

Объяснение:

Рассмотрим треугольник АВD

угол А равен 45 градусов следовательно угол ABD равен 45 градусов

следовательно BD= 6, т.к. треугольник ABD - равнобедренный

По теореме Пифагора находим гипотенузу треугольника ABD

AB^2 = AD^2 + BD^2

AB^2 = 6^2 + 6^2

AB^2 = 72

AB = 8,5

Находим площадь по формуле S=1/2bh

S= 1/2*14*6=42

Площадь треугольника можно вычислить разными

По ф.Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника, a, b и с - его стороны. 
 р-(37+37+24):2=49
S=√[49•12•12•25]=7•12•5=420 (ед. площади)

Опустим высоту на основание. Высота равнобедренного треугольника, проведенная между равными сторонами, делит его на два равных прямоугольных, в которых боковые стороны треугольника - гипотенузы, высота и половина основания - катеты. . 
Тогда по т.Пифагора
h=√(37²-(24/2)²)=35
S=h•a/2=35•24/2=420 (ед. площади).

Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то высота пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание - точку О, и высоты боковых граней равны.

Сначала выразим в основании все нужные величины:

АН : ВН = ctg (α/2)  ⇒  AH = BH · ctg(α/2) =

BH : AB = sin(α/2)  ⇒  AB = BH / sin(α/2) =

Pabc = 2AB + BC = a/sin(α/2) + a

Sabc = 1/2 · BC · AH = 1/2 · a · a/2 · ctg(α/2) = a²/4 · ctg(α/2)

r = 2Sabc / Pabc
r = 2· a²/4 · ctg(α/2) / (a/sin(α/2) + a) = a·cos(α/2) / (2 + 2sin(α/2))

ΔSOH:

OH : SH = cosβ  ⇒  SH = OH / cosβ = r / cosβ = 2Sabc / (Pabc · cosβ)

Теперь площадь полной поверхности:
S = Sбок + Sосн = 1/2 · Pabc · SH + Sabc
S = 1/2 · Pabc · 2Sabc / (Pabc · cosβ) + Sabc
S = Sabc/cosβ + Sabc = Sabc · (1/cosβ + 1)
S = a²/4 · ctg(α/2) · (1/cosβ + 1)

Вообще, если боковые грани наклонены под одним углом к основанию
Sосн /Sбок = cosβ

Высота пирамиды:
ΔSOH:
SO / r = tgβ
SO = r · tgβ = a·cos(α/2) · tgβ / (2 + 2sin(α/2))