Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен 13 см, вписанной — 4 см. найдите периметр и площадь треугольника. , решите это самым простым и со всеми объяснениями, ​

60 и 120

Объяснение:

Тр-к АСВ , <C=90,   гипотенуза  АВ= диаметру описанной окр-ти, значит АВ=2R=2*13=26,  BC-основание. Впишем окр-ть в тр-к,  О-центр вписанной окр-ти из т.О проведем радиусы в точки касания,   ОК_I_ СВ,

ОМ_I_АС,  ОР_I_ AB,  по теореме о касательных  СМ=СК=4,  КВ=ВР=х,

АР=АМ=26-х,  тогда АС=26-х+4=30-х, СВ=4+х, тогда по теор ПИфагора для тр-ка АВС:  АВ^2=AC^2+CB^2,  26^2=(30-x)^2+(4+x)^2,  возведем в квадрат, получим ур-е  2x^2-52x+240=0,  x^2-26x+120=0,  корни x1=6,  x2=20,  оба корня подходят,  тогда АС=30-6=24,  СВ=4+6=10 или  АС=10,

СВ=24,  S=1/2*АС*СВ=1/2*24*10=120,   Р=26+24+10=60

1.

Найдем второй катет первого треугольника. Теорема Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

a²=5²-4²

a²=25-16

a²=9

a=√9

a=3

Второй катет 3

Сумма внутренних углов треугольника 180°.

У первого треугольника один угол 90°, второй 53°. Найдем меньший угол первого треугольника.

180°-90°-53°=37°.

Теперь найдем гипотенузу второго треугольника по теореме Пифагора.

c²=24²+18²

c²=576+324

c²=900

c=√900

c=30

Разделим все стороны второго на соответственные (больший делим на большую сторону, меньший на меньшую и т.д.) стороны первого.

Так как они все пропорциональны (признак подобия треугольников), эти два треугольника подобные, то есть углы одинаковые. Следовательно, меньший угол второго треугольника тоже 37°.

2.

Найдем катет первого треугольника по теореме Пифагора

a²=10²-8²

a²=100-64

a²=36

a=√36

a=6

Во втором треугольнике найдем гипотенузу по той же теореме.

c²=12²+16²

c²=144+256

c²=400

c=√400

c=20

Разделим соответственные стороны второго на первый:

Все стороны пропорциональны, значит они подобные. Меньший угол второго треугольника 36°.

Используя теоремы синусов и косинусов мы нашли:

с = 13,7 ед., ∠В = 58°, ∠С = 77°.

Объяснение:

Требуется найти сторону с, угол В, угол С используя теоремы косинусов и синусов.

Дано: ΔАВС.

a = 10; b = 12;

∠C = 45°.

Найти: с, ∠А; ∠В.

1. Для того, чтобы найти ∠В, воспользуемся теоремой синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Подставим значения в формулу значения: a = 10; b = 12;

.

⇒  по таблице найдем ∠В ≈ 58°

2. Найдем ∠С.

Нам уже известны ∠А = 45° и ∠В = 58°.

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒

∠С = 180° - (∠А +∠В) = 180° - (45° +58°) = 77°.

Итак ∠С  =77°

3. Осталось найти сторону с.

Найдем сторону с по теореме синусов.

∠С  =77° ⇒ sin 77° = 0,97

Подставим значения b = 12; sin∠C = 0,97; sin∠B = 0,85:

Сторона с = 13,7 (ед.)

* Сторону с можно также найти по теореме косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

∠С = 77°  ⇒ cos ∠C = 0,22

Подставим в формулу значения: а = 10; b = 12; cos ∠C = 0,22:

Сторона с = 13,7 (ед).