Утреугольников авс и а1в1с1 основания высот вd и b1d1 принадлежат сторонам ас и а1с1 соответственно. известно, что bd=b1d1, угол авс = углу а1в1с1, угол свd = углу c1b1d1. докажите равенство треугольников авс и а1в1с1.

АК должно проходить через точку Н
SH -высота пирамиды, Так как все грани наклонены под одинаковым углом к основанию, то Н- центр вписанной окружности. Проведем SK перпендикулярно ВС. По теореме о трех перпендикулярах НК тоже перпендикулярно ВС. Угол SKH - линейный угол двугранного угла между боковой гранью и пл. основания и поэтому угол SKH=60
НК одновременно будет радиусом вписанной окружности треугольника АВС. Плоскость SHK перпендикулярна ВС и следовательно грани SBC, поэтому шар будет касаться грани SВС в точке принадлежащей SK.
Пусть центр шара - точка О
Сделаем выносной чертеж плоскости SHK. ОМ перпендикулярно SK ОМ=OH=R. М - точка касания шара и боковой грани. MO1 перпендикулярно SH. O1M это будет радиус окружности, проходящей через точки касания. ОК является биссектрисой угла SKH=> угол OKH=30
Из треугольника ОНК: ОН/НК=tg30, HK=R*sqrt(3)
HK/SK=cos60 => SK=2Rsqrt(3) (или катет против угла в 30 градусов) -апофема бококвой грани найдена. Одновременно мы нашли и КМ=НК=R*sqrt(3). Значит SM=R*sqrt(3)
А тогда из подобия треугольников SMO1 и SKH следует, что O1M=(1/2)HK=(R*sqrt(3))/2
Тогда длина окружности проходящей через точки касания равна 2*pi*(R*sqrt(3))/2...

Дано: ΔАВС подобен ΔKMN,

∠В = ∠М,  ∠С = ∠N,

АС = 3 см, АВ = 3,5 см, ∠А = 30°, СЕ - биссектриса ΔАВС,

KN = 6 см, MN = 4 см

Найти:

а) ВС;

б) ∠К;

в) Sabc / Skmn;

г) АЕ и ВЕ.

б) ∠В = ∠М,  ∠С = ∠N, ⇒ ∠К = ∠А = 30°.

а) В подобных треугольниках напротив равных углов лежат сходственные стороны. Тогда верно отношение:

ВС : MN = АС : KN = 3 / 6 = 1/2

k = 1/2

BC = 1/2 MN = 1/2 · 4 = 2 см

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Sabc / Skmn = k² = 1/4

г) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

AE : BE = CA : CB

Пусть АЕ = х, тогда ВЕ = 3,5 - х

x : (3,5 - x) = 3 : 2

2x = 3(3,5 - x)

2x = 10,5 - 3x

5x = 10,5

x = 2,1

АЕ = 2,1 см

ВЕ = 3,5 - 2,1 = 1,4 см