11 ) найдите координаты вектора ав и его модуль, если а(-1; 3)и в(-4; 3), 5. а) (2; 3), 3, 6. б) (-4; -3), 5 в) (4; 3), 5 г) (5; 0), 5 побыстрее! > ~< с решением 35

Задача 6

В ΔАВС , АВ=ВС, АЕ -биссектриса, Е∈ВС. Найти Р( АВС), если ВС-АС=8 и ВЕ:ЕС=3:2.

Решение.

Пусть одна часть х. Тогда ВЕ=3х, ЕС=2х ⇒ ВС=5х ⇒ АВ=5х , т.к треугольник равнобедренный.

По т. о биссектрисе треугольника    , тогда ⇒ AC= .

По условию  ВС-АС=8 , поэтому 5х- = 8  или   =8  или х=4,8.

ВС=5*4,8=24 , АВ=24 , АС=.

Р=24+24+16=64.

Задача 8

Стороны треугольника относятся как 2:3:3 . Найти периметр треугольника , если основание на 5 единиц меньше боковой стороны.

Решение .

Дан ΔАВС. АВ=ВС . Пусть одна часть х. Тогда АВ=ВС=3х, АС=2х .

По условию АС меньше АВ на 5, т.е  АВ-АС=5.

Получим 3х-2х=5 или х=5  . Тогда АВ=ВС=3*5=15, АС=2*5=10 .

Р=15+15+10=40.

Задача 9

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. , высота , опущенная на основание,  равна 6 .Найти периметр треугольника .

Решение .

Дан ΔАВС , АВ=ВС  ,ВН⊥АС , ∠АВС=120°.

1) Высота равнобедренного треугольника является биссектрисой ⇒∠АВН=60° .

2) ΔАВН -прямоугольный , по свойству углов ∠А=90°-60°=30°.

Против угла в 30° , лежит катет равный половине гипотенузы , т.е ВН=1/2*АВ ⇒ АВ=12 ⇒ВС=12, т.к треугольник равнобедренный.

По т. Пифагора АН²=АВ²-ВН² или АН²=12²-6²  или АН=√18*6=6√3.

3) Высота равнобедренного ΔАВС является медианой, значит  АН=НС=6√3  ⇒АС =12√3.

4)Р=12√3+12+12=24+12√3.

Отрезок BC виден из точек С1 и B1 под прямым углом - точки B, C1, B1, C лежат на окружности c центром в середине BC.

B1BC1 =C1CB1

A1BC1H, A1CB1H - вписанные четырехугольники (т.к. противоположные углы прямые).

HA1C1 =HBC1, HA1B1=HCB1 => HA1C1=HA1B1

(т.е. высота AA1 треугольника ABC является биссектрисой угла A1 ортотреугольника A1B1C1)

∪B1C1 =2B1BC1 =A1 =44  

Если треугольник остроугольный, найдем BAC как угол между секущими:

BAC =∪BC/2 -∪B1C1/2 =90-22 =68

Если треугольник тупоугольный - рассмотрим △HBC - найдем BHC как угол между хордами:

BHC =∪BC/2 +∪B1C1/2 =90+22 =112  

---------------------------------

М - середина BC. B1MC1 =∪B1C1 (центральный угол) =A1, т.е. M лежит на описанной окружности △A1B1C1.

Аналогично для всех середин сторон △ABC и середин сторон △AHB, △BHC, △AHC (для этих треугольников △A1B1C1 является ортотреугольником).

Описанная окружность ортотреугольника называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера (основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершины лежат на одной окружности).