Кут оме=куту оем, кут рмо=кутурео.доведіть, що трикутник мор=трикутнику еор.

Даны вершины треугольника A(1; 4); B(6; 5); C(4; -3).

Точка М = (B(6; 5) + C(4;-3)) / 2 = (4; 0,5).  

Вектор АМ = М(4; 0,5) - A(-5; 1) = (9; -0,5).  

Уравнение АМ: (x + 5) / 9 = (y - 1) / (-0,5) или в общем виде:  

x + 18y - 13 = 0.  

Высота BN перпендикулярна стороне АС.  

Находим вектор АС = C(6; -3) - A(-5; 1) = (11; -4)  

Уравнение АС: (x + 5) / 11 = (y - 1) / (-4) или в общем виде:  

4x + 11y + 9 = 0.  

Если к прямой Ax + By + C = 0 проведен перпендикуляр, то у него коэффициенты при переменных будут Bx - Ay.  

Уравнение АС: 4x + 11y + 9 = 0.  

Уравнение BN: 11x - 4y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки В, через которую проходит прямая BN.  

11*2 - 4*4 + C = 0, отсюда С = 16 - 22 = -6.  

Получаем уравнение BN: 11x - 4y - 6 = 0.  

Находим угол:  

Вектор АM Вектор ВN

х          у             х       у

9       -0,5          11    -4

Модуль АM = 9,01387819 Модуль ВN = 11,7047

Угол между векторами

cos γ = 0,957303  

 γ = 0,293272 радиана

  = 16,80328 градуса.

Рассмотрим две окружности, касающиеся внешним образом.

MK, AB - общие касательные

MA=MK=MB; MO1, MO2 - биссектрисы (т об отрезках касательных из одной точки)

∠O1MO2 =90 (биссектрисы смежных углов перпендикулярны)

∠MKO1 =90 (радиус в точку касания перпендикулярен касательной)

MK =√(O1K*O2K) =√(ab) (высота из прямого угла)

AB =2MK =2√(ab)

Теперь рассмотрим три окружности, для каждой пары выполняется предыдущее условие: касаются внешним образом и общей внешней касательной (c - меньший радиус).

AM =2√(ac)

BM =2√(bc)

AB =2√(ab) =AM+BM

=> √(ab) =√(ac) +√(bc)  | :√(abc)

=> 1/√c = 1/√a + 1/√b

Два случая:

1) x - меньший радиус

1/√x =1/√4 +1/√9 => 1/√x =1/2 +1/3 =5/6 => x=36/25 =1,44

2) 4 - меньший радиус

1/√4 =1/√x +1/√9 => 1/√x =1/2 -1/3 =1/6 => x=36