Вправильну чотирикутну піраміду , апофема якої дорівнює 12 см, вписано кулю. знайдіть радіус кулі.якщобічна грань піраміди нахилена до площини основи під кутом 60 градусів.

1)В треугольнике АВС касательные ВА и ВС поделены на две части точками пересечения с окружностью К и М соответственно. Отрезки ВК и ВМ равны по свойству касательных => ВК = 5 =ВМ.
2) Точно также: касательные АВ и АС поделены на две части точками пересечения с окружностью К и L соответственно. Отрезки АК и АL равны по свойству касательных => АК=24=АL
3) то же самое с отрезками МС и LС: они равны. (Их значение неизвестно.
4) АВ +ВС+АС =60;
АК +КВ+ВМ+МС+АL+LС=60
Из 1), 2) и 3) => 24+5+5+МС+24+МС=60;
МС=1 => АВ=29; ВС=6; АС =25

Известны все стороны, можно по формуле:
Sтреугольника= корень(р(р-АВ)(р-ВС)(р-АС),
Где р= (АВ+ВС+АС)/2
У меня получилось 60

на плоскости существует точка равноудаленная от всех сторон, значит она еще описанная а так как если в четырехугольник можно вписать окружность  то сумма противоположенных стороны равна сумме боковых , так как по условию следует что трапеция равнобедренная так как она вписана в окружность! 
пусть а боковые стороны а x и у основания  , тогда  средняя линия равна ,  значит  

боковые стороны равны 4, теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BEC.
Так  по условию дано что оно равна 120 гр, то значит угол EBC равна 120-90=30гр
Так как  EC

Значит  
решая систему получим что нижнее основание равно 6 ,верхнее 2 
Теперь  чтобы найти Радиус Описанной окружности можно  рассмотреть    треугольник DBC; По формуле 

Найдем d, по теореме косинусов