Проверить, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны а)12, 9, 15; б) 13, 14, 15; в) 2, 5, 4

В прямоугольном треугольнике гипотенуза — самая большая сторона.

По т. Пифагора (гипотенуза)²= (катет1)²+(катет2)².

а) 12, 9, 15. Сторона 15 - гипотенуза.

15²=12²+9²;

225=144+81;

225=225 => треугольник является прямоугольным.

б) 13, 14, 15. Сторона 15 - гипотенуза.

15²=14²+13²;

225=196+169;

225 ≠ 365 => треугольник не прямоугольный.

в) 2, 5, 4. Сторона 5 - гипотенуза.

5²=4²+2²;

25=16+4;

25 ≠ 20 => треугольник не прямоугольный.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой .
Дано:
DABC - равнобедренный;
AB - основание. CD - медиана .

Док-ть:
CD - высота и биссектриса .

Доказательство:

CA=CD - по условию
РA= РB - по свойству равнобедренного треугольника
AD=DB т. к. CD - медиана ,
ЮDCAD=DCBD (по 1-ому признаку равенства треугольников)
ЮРACD= РBCD, РADC= РBDC
РACD=РBCD Ю CD - биссектриса
РACD и РBCD - смежные и равны
Ю РACD и РBCD - прямые Ю CD - высота треугольника. ещё доказательство: http://oldskola1.narod.ru/Nikitin/0018.htm

Пусть . Из условия AE = BC, а так как

AM - медиана треугольника ABC, то BE = EC = BC/2 = AE/2.

Сделаем дополнительное построение, т.е. построим до параллелограмма ABDC, в нём AD = 2AE = 2BC, тогда сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

Не трудно заметить, что треугольник ABC - прямоугольный с гипотенузой AB = √7 и катетами AC = √3; BC = 2.

2) Площадь треугольника: кв. ед.

3) Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, значит радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.