Для работы.1. к плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0, 7 м восстановленперпендикуляр длиной 2, 4 м найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторонтреугольника.из вершины равностороннего треугольника авс восстановлен перпендикуляр ад к плоскоститреугольника. найдите расстояние от точки д до стороны bc, если ад-13 см, вс=6см.3. расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1, 1 м, а до каждой из его сторон 6, 1 м.найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.4. из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. разность проекций этихнаклонных равна 9см. найдите проекции наклонных.5. из точки к плоскости проведены две наклонные. найдите длины наклонных, если они относятся 1: 2 ипроекции наклонных равны 1см и 7см.6. верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удалённых на расстояние 3, 4 м, соединеныперекладиной. высота одного столба 5, 8 м, а другого 3, 9 м. найдите длину перекладины.7. прямые ab, ac и ад попарно перпендикулярны. найдите отрезок сд, если: 1) ав=3см, вс=7см, ад=1, 5см; 2) вд-9см, вс=16 см, ад=5см.​

Boт когда в голову приходят такие решения, я все-таки понимаю, зачем сижу на этом сайте :)

1. Треугольник "достраивается" до параллелограмма. Для этого медиана АК (К - середина ВС) продолжается на свою длину за точку К и полученная точка А1 соединяется с В и С. 

2. на АА1 отмечается точка М1 так, что М1К = МК. Ясно, что М1ВМС - тоже параллелограмм (я даже не стану уточнять, что М1 - точка пересечения медиан треугольника А1ВС, симметричного треугольнику АВС относительно точки К).

Поэтому угол ВМ1С = угол ВМС.

В четырехугольнике М1ВАС сумма противоположных углов ВМ1С и ВАС равна 180 градусов, поэтому вокруг него можно описать окружность.

М1А и ВС - две хорды этой окружности, пересекающиеся в точке К. Поэтому

АК*М1К = ВК*КС; 

Если обозначить длину медианы АК как m, то М1К = m/3, и

m^2/3 = (8/2)^2; m^2 = 48; m = 4*√3

 

Задача, конечно, очень простая, и "задним числом" понятно, что на это решение и рссчитывали (может быть, там можно как то доказать подобие треугольников АВК и СМК, но мне уже не охота этим заниматься, тем более, что это совершенно эквивалентный метод), но сам оказался симпатичным.

Это скорее алгебраическая задача.

Пусть АВ = с; BC = a; AC = b; 

p = (a + b + c)/2;

p - c = z = 7√3; или b + a - c = 2*z;

Радиус r вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, равен

r = S/(p - a); или r = 2*S/(b + c - a); 

Теперь числитель и знаменятель этой дроби умножаются на 2*z = b + a - c;

r = 2*S*2*z/((b + c - a)*(b - c  +a)) = 4*S*z/(b^2 - (c - a)^2) = 4*S*z/(b^2 - a^2 - c^2 + 2*a*c);

Теперь надо подставить S = a*c*sin(B)/2 и b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(B); получается

r = 2*z*a*c*sin(B)/(2*a*c - 2*a*c*cos(B)) = z*sin(B)/(1 - cos(B)); это ответ в общем случае.

Если подставить числа z = 7√3; sin(B) = √3/2; cos(B) = -1/2, то r = 7;

 

Я решил добавить кое-что - мало ли, кому пригодится.

Соотношение r = S/(p - a); где r - радиус вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, доказать очень просто. Если соединить центр О этой окружности с вершинами треугольника АВС, то 

S = Sabo + Saco - Sbco (Sabo - это площадь треугольника АВО, и так далее)

В каждом из этих треугольников радиус вневписанной окружности является высотой к стороне, которая - к тому же - сторона треугольника АВС.

S = AB*r/2 + AC*r/2 - BC*r/2 = (c + b - a)*r/2 = (p - a)*r; где p = (a + b + c)/2;

ЧТД.

Отсюда, кстати, сразу можно получить очень веселые и красивые следствия, например, такое (с учетом формулы Герона для площади)

S^2 = r*ra*rb*rc;

где r - радиус вписанной окружности, ra, rb, rc - радиусы трех вневписанных окружностей треугольника АВС.