Равнобедренный треугольник с высотой, проведенной к основанию и равной 16 см, вписан в окружность радиуса 17 см. найдите площадь этого треугольника и его боковую сторону.

В равнобедренном треугольнике высота к основанию является серединным перпендикуляром. Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре.

OH =BO-BH =17-16 =1

AOH, теорема Пифагора

AH= √(AO^2-OH^2) =√(17^2 -1) =√288 =12√2

S(ABC)= 2AH*BH/2 =12√2 *16 =192√2 (см^2)

ABH, теорема Пифагора

AB =√(AH^2+BH^2) =√(288 +16^2) =√544 =4√34 (см)

192√2 см²;  4√34 см

Объяснение:

Дано: ΔАВС - равнобедренный, ВН=16 см, АО+ОС=17 см. Найти S(АВС), АВ.

ВО=R=17 см

Рассмотрим ΔАОН - прямоугольный по определению высоты треугольника. АО=17 см;  ОН=ВО-ВН=17-16=1 см.

По теореме Пифагора АН=√(17²-1²)=√(289-1)=√288=12√2 см

АВ²=(12√2)²+16²=288+256=544;  АВ=√544=4√34 см.

S=1/2 * 16 * 24√2 = 192√2 см²

Ага, Пифагорова тройка (20, 21, 29). Проверьте сами - сумма квадратов первых 2 равна квадрату третьего. 

Итак, в основании пирамиды прямоугольный треугольник с площадью

Sosn =20*21/2 = 210,

и грани пирамиды имеют одинаковый наклон. 

Смотрите, чтобы много не считать. Вершина пирамиды проектируется в центр ВПИСАННОЙ окружности. Потому что при равном наклоне граней все апофемы равны (они равны h = H/sin(Ф), Н - высота пирамиды, Ф - двугранный угол между гранью и основанием). Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания, значит, И ЕЁ проекция на основание будет равноудалена от сторон основания. То есть  - это центр вписанной окружности.

Проекцией апофемы является радиус вписанной окружности r. 

Причем апофема (любая) h = r/cos(Ф); Боковая поверхность при одинаковых апофемах вычисляется так

Sb = (1/2)*Р*h;

где Р - периметр основания (это просто сумма площадей всех треугольников-боковых граней), 

Sb = (1/2)*P*r/cos(Ф) = Sosn/cos(Ф); Эта формула крайне полезная, но я не уверен, что программе она есть, поэтому просто её вывел по ходу решения.

Итак,

H = r*tg(Ф), в нашем случае H = r; r = (a + b - c)/2 = 6; (могу объяснить, как эта формула получается, если надо, это в прямоугольном треугольнике работает. Но можно и так сосчитать, r = 2*S/P = 420/(20+21+29) = 6;)

H = 6; это высота пирамиды

Sosn = 210; 

Sb = 210/(корень(2)/2) = 210*корень(2);

Полная поверхность 210*(1 + корень(2));

 

Окружность и плоскость: точка(плоскость касается окружности), 2 точки(плоскость пересекает окружность), окружность(данная плоскость и плоскость окружности совпадают), не имеют общих точек.
круг и плоскость: точка(плоскость касается круга), отрезок(плоскость пересекает круг),круг(данная плоскость и плоскость окружности совпадают), не имеют общих точек.
Сфера и плоскость: точка (плоскость касается сферы), окружность(данная плоскость пересекает сферу), не имеют общих точек.
Шар и плоскость: точка(плоскость касается шара),  круг (данная плоскость и пересекает шар), не имеют общих точек.