Утрикутнику abc найбільша сторона ab дорівнює 40 см. бісектриса bd ділить сторону ac на відрізки завдовжки 15 см і 24 см. знайдіть периметр трикутника abc​

Пусть AD = 24 см и CD = 15 см. По свойству биссектрисы

AB/BC = AD/CD

BC = AB * CD / AD = 40 * 15 / 24 = 25 см.

Периметр : P = 40 + 39 + 25 = 104 см.

Треугольник - это простейшая геометрическая фигура, имеющая три вершины, попарно соединенные между собой отрезками, которые образуют стороны этого многоугольника. Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, называют медианой. Зная длины двух сторон и медианы, соединяющихся в одной из вершин, можно построить треугольник, не имея данных о длине третьей стороны или величинах углов. 
1 Поставьте точку и обозначьте ее буквой A - это будет та вершина треугольника, в которой соединяются медиана и две стороны, длины которых (m, a и b, соответственно) известны. 
2 Проведите из точки A отрезок, длина которого равна одной из известных сторон треугольника (a). Точку окончания этого отрезка обозначьте буквой B. После этого одну из сторон (AB) искомого треугольника уже можно считать построенной. 
3 Начертите с циркуля окружность с радиусом, равным удвоенной длине медианы (2∗m), и с центром в точке A. 
4 Начертите с циркуля вторую окружность с радиусом, равным длине второй известной стороны (b), и с центром в точке B. Отложите на время циркуль, но оставьте на нем отмеренный радиус - он вам снова понадобится немного позже. 
5 Постройте отрезок, соединяющий точку A с точкой пересечения двух нарисованных вами окружностей. Половина этого отрезка будет медианой треугольника, который вы строите - отмерьте эту половину и поставьте точку M. На этот момент у вас есть одна сторона искомого треугольника (AB) и его медиана (AM). 
6 Начертите с циркуля окружность с радиусом, равным длине второй известной стороны (b), и с центром в точке A. 
7 Проведите отрезок, который должен начинаться в точке B, проходить через точку M и заканчиваться в точке пересечения прямой с проведенной вами на предыдущем шаге окружностью. Обозначьте точку пересечения буквой C. Теперь в искомом треугольнике построена и неизвестная по условиям задачи сторона BC. 
8 Соедините точки A и C, чтобы завершить построение треугольника по двум сторонам известной длины и медиане, проведенной из вершины, образуемой этими сторонами.  

Вспомним:
Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис.
 В правильном треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами.
Значит, высоты здесь еще и срединные перпендикуляры, точка пересечения которых - центр описанной окружности.
В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. 
Так как биссектрисы=медианы, и пересекаются они в одной точке, эта точка по свойству медиан делит медиану ( высоту) в отношении 2:1, считая от вершины угла.
Отрезок, равный 1/3 высоты из центра к стороне - радиус вписанной окружности. 
Вся высота равностороннего треугольника, следовательно, в 3 раза больше радиуса вписанной в него окружности. 

И вот собственно решение:
 h=4*3=12 см
Из формулы высоты равностороннего треугольника
 h=a*sin(60°)
а=h:sin(60°)
а=12:{(√3):2}=24:√3=(24√3):3=8√3 см
ответ: сторона равностороннего треугольника с радиусом вписанной окружности 4 cм равна 8√3 см