Составить уравнение конуса, вершина которого находится в точке м(1, -2, 7), а направляющая задана уравнениями х2 = 1 – у2 + z2, z = у – х.

АВ - хорда, О - центр окружности, ОН - расстояние от центра до хорды. 
Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, провененного из этой точки на прямую, значит ОН - высота треугольника АОВ.
Тр-ник АОВ равнобедренный, АО = ОВ как радиусы окружности, АВ - основание. В равнобедренном тр-ке высота, проведенная к основанию, является также медианой, значит АН = ВН.
Так как ВН - высота, то тр-ник АНО прямоугольный. По теореме пифарора найдем катет АН:
АН = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 (см)
АВ = 12 * 2 = 24(см)
ответ: 24 см

Подробное решение. 
Сделаем  рисунок.
Очевидно, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны.
Докажем это.
Прямые, которые пересекают плоскости  α и β,  образуют пересекающиеся прямые.

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. притом только одну.  

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Следовательно, АВ||А₁В₁, ВС||В₁С₁, АС||А₁С₁
В  каждой паре треугольников СОВ и С₁ОВ₁, АОВ и А₁ОВ₁, АОС и А₁ОС₁  соответственно углы равны.
Один - как вертикальный, два - как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.
Если углы одного треугольника равны углам  другого треугольника, зто такие треугольники подобны.
Отсюда следует подобие треугольников АВС и ,А₁В₁С₁, т.к. их стороны соответственно пропорциональны.
Итак, треугольники подобны.
В подобных треугольниках площади относятся как квадрат коэффициента подобия их линейных размеров. 
Площадь треугольника АВС по формуле Герона равна 84 см² ( давать вычисления не буду, их можно сделать самостоятельно. Замечу, что такое отношение сторон треугольника встречается часто, и эту площадь многие знают наизусть.)
Найдем отношение площадей этих подобных треугольников.
S(ABC): S (A1B1C1)=336:84=4
k²=4
k=2
Следовательно, стороны треугольника А₁В₁С₁ в два раза больше сторон треугольника АВС и равны 
А₁В₁=26 см
В₁С₁=28 см
А₁С₁=30 см
Для проверки можно вычислить по ф. Герона площадь треугольника А₁В₁С₁  получим  336 см²
—————
[email protected]