Отметьте правильный вариант ответа

или 80% или неуказан.

Раз в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных её сторон равны.
BC = CM = LB = BN и BS = SA = AN = ND = DG, т.к трапеция равнобоковая и отрезки касательных, проведённые из одной точки равны.
Опустим два перпендикуляра к большему основанию AD. Обозначим их за BE т FC. Внутри трапеции образовался прямоугольник BEFC => BC = EF = 2m. Тогда AE + FD = 2n - 2m.
AB = CD
BE = CF
Угол AEB = углу DFC = 90°
Значит, треугольник равны по катеты и гипотенузе.
Из равенства треугольников => AE = FD. Значит, AE = FD = 1/2(AE + FD) = 1/2•(2n - 2m) = n - m.
По теореме Пифагора:
BE = √(m + n)² - (n - m)² = √m² + 2mn + n² - n² + 2mn - m² = √4mn = 2√mn.
Значит, высота трапеции равна 2√mn.
Площадь S трапеции равна:
S = 1/2(BC + AD)•EB
S = (m + n)•2√mn.

1.
ABCD - параллелограмм ;
P = 2(AB +BC ) =52 ; 
BD ⊥ AC ;
BD =10 .

AC - ?

 Если  в параллелограмме  диагонали перпендикулярны  ⇒ ABCD 
ромб (Действительно , пусть O  точка пересечения диагоналей  BD и  AC ; в  точке  пересечения  диагонали  делятся пополам   AO = CO   и 
 BO =DO   ||=5 || ,  т.е.  в  треугольнике  ABD    AO  и медиана ,и  высота ,  значит  A B =  A D  = P / 4 = 52/4 =13.  Из  ΔAOD ( или ΔAOB) по теореме 
Пифагора  AO =√ (A B² -  BO²)  =√ (13² -  5²)  =12⇒ AC = 2 AO =2*12 =24.

ответ : 24.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2. 
M  произвольная точка внутри  Δ ABC

MA +MB +MC > ( AC+ AB +BC) /2 →?

Пусть  ABC любой  треугольник  ,  а  M  произвольная точка внутри  него 
MA + MC > AC ;
MA + MB >  AB ;
MB + MC >  BC  .
Сложим эти три неравенства и получаем 
2(MA +MB +MC) > AC+ AB +BC
 2(MA +MB +MC) > P  ⇒ MA +MB +MC > P / 2 , что и требовалось доказать.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
!  Гораздо интереснее доказать , что MA +MB +MC < P .
таким образом  получить  P/2 <  MA + MB + MC < P.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
3.  
ABCD - трапеция :  AD | |  BC и    AD  >   BC ; 
AO = DO  =R =2 ;
AB = BC .

S = S (ABCD ) - ?  
 
Только  около  равнобедренной трапеции можно описать окружность. Действительно  ∠ABC + ∠BAD =180° и  ∠ABC + ∠CDA =180 ° ⇒ ∠BAD=∠CDA или по другому ◡ AB = ◡ CD  (как дуги  между параллельными хордами  AD  и  BC ), значит и AB = CD ⇒ ∠BAD = ∠CDA .
Если центр лежит на одной из ее сторон трапеции, то эта сторона большое основание  (OA =OD =R) . AВ _ диаметр.
По условию задачи  AB = BC ⇒ ◡ AB = ◡BC,  но ◡ AB = ◡ CD ,   ◡AB = ◡BC = ◡ CD = 180°/3  =60°. У равнобедренных треугольников AOB , COD , BOC
один угол 60 °  следовательно  они  равные и  равносторонние : 
 Поэтому  S= 3*S(DOC) =3 *(2²√3) /4 =3√3 . 

ответ : 3√3 .

*  *  *  * Четырехугольники ABCO и  DCBO  являются ромбами.