Вкруг вписан равносторонний треугольник abc. хорда ap пересекает медиану bd так, что bk: kd = 1: 6. найдите отношение bp: pc.

1 : 12

Объяснение:

∪AB=∪AC => ∠BPA=∠CPA

По теореме о биссектрисе

BP/PC =BE/EC

По теореме Менелая (△CBD)

CE/EB *BK/KD *DA/AC =1

CE/EB *1/6 *1/2 =1 => EB/CE=1/12

BP/PC =1/12

Точка М не лежит в плоскости параллелограмма ABCD.
Она образует  с точками С,D  - треугольник MCD, с основанием CD
По условию прямая (C'D'), проходит через  середины отрезков MC и MD.
А это как раз боковые стороны треугольника MCD. Значит C'D' - средняя линия треугольника MCD , следовательно параллельна  основанию CD.
В параллелограмме противолежащие стороны попарно параллельны, тогда AB || CD , но CD || C'D'. Значит и  AB || C'D'
ДОКАЗАНО, что прямая, содержащая середины отрезков MC и MD параллельна прямой AB

1.  Прямая, проходящая через середины сторон AB и CD является средней линией трапеции, она параллельна основаниям ВС и AD.  По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая параллельна AD, то она параллельна и плоскости α.
2.  Если через прямую параллельную плоскости  проходит другая плоскость и пересекает первую, то линия пересечения параллельна данной прямой. ЕС || Е1С1,  тогда Δ В1Е1С1 подобен ΔВЕС с коэффициентом подобия 3/8 (т к C1E1:CE=3:8).  тогда ВС1:ВС=3/8, ВС1=ВС* 3/8=10,5 см.
3.  Прямая, проходящая через середины AE и BE является средней линией треугольника АВЕ, она параллельна АВ, в свою очередь АВ||CD  по свойству параллелограмма, тогда если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, значит прямая, проходящая через середины AE и BE, параллельна прямой  CD.