Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая – 17 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

ответ:    см.

Объяснение:

Сечение конуса - равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 17 см, а основание равно  8*2=16 см.

Радиус вписанной окружности в треугольник равен радиусу вписанного шара в конус.

Задача сводится к решению планиметрической задачи на отыскание радиуса круга, вписанного в осевое сечение конуса, т.к.  осевое  сечение  - равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, а основание — его диаметр . Вписанный в этот треугольник круг - это круг, радиус которого равен радиусу шара.

поэтому  чтобы найти радиус шара, достаточно найти радиус круга, вписанного в треугольник. он равен частному от деления площади треугольника на полупериметр треугольника. Если в треугольнике опустить высоту на основание, то она равна √(17²-8²) =√(25*9)=15/см/, площадь треугольника равна 15*8=120/см²/, а полупериметр (2*17+2*8)/2=17+8=25, искомый радиус 120/25=24/5=4.8/см/

Пусть дан равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС = 10, АС = 4.

Если провести отрезки через вершину, середину боковой стороны и середину основания треугольника, то получим равнобедренный треугольник ВДЕ с двумя сторонами ВЕ и ДЕ по 5 и третьей ВД, равной высоте Н исходного треугольника.

Находим Н = √(10² - (4/2)²) = √(100 - 4) = √96 = 4√6.

Высота треугольника ВДЕ из точки Е на ВД равна (4/2)/2 = 1.

Площадь ВДЕ = (1/2)*1*(4√6) = 2√6 кв.ед.

Отсюда получаем ответ, использовав формулу:

R = (abc)/(4S) = (5*5*4√6)/(4*2√6) = 25/2 = 12,5 ед.

Согласно обратной теореме Фалеса, прямая ED параллельна прямой BC.
Пусть F - точка пересечения прямых ED и AM. Треугольник AED - равнобедренный (AE=AD, т.к. ЕС и ВD - медианы треугольника ВАС.). Рассмотрим треугольники AEF и AFD:
AE=AD, т.к. ЕС и ВD - медианы треугольника ВАС.
AF - общая сторона
углы AED и ADE равны как углы равнобедренного треугольника AED.
Следовательно треугольники EFA и AFD равны по первому признаку.
Значит AF является для этого треугольника биссектриссой, медианой и высотой. Отсюда следует, что AF⊥ED. Т.к. точка Fявляется точкой пересечения прямых ED и AM( F∈AM), то прямая AM⊥ED и т.к. ED║BC, то AM⊥BC.