Вне плоскости параллелограмма АВСД дана точка К отстоящая от сторон АВ и СД параллелограмма на расстояния равные отрезкам КМ и КЕ. Доказать, что МЕ- высота параллелограмма

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство:

Пусть в ΔАВС АВ > ВС. Докажем, что ∠С > ∠А.

Отложим на стороне АВ отрезок ВК = ВС. Так как АВ > ВС, то точка К будет лежать между точками А и В, тогда угол 1 будет частью угла С:

∠1 < ∠С.

∠2 - внешний для ΔАСК, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Тогда ∠2 = ∠А + ∠АСК, т.е.

∠2 > ∠А.

И еще ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника ВСК. Получаем:

∠А < ∠2 < ∠C, значит

∠А < ∠С

Обратная теорема: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Пусть в треугольнике АВС ∠С >  ∠A. Докажем, что АВ > ВС.

Предположим, что АВ < ВС. Тогда по доказанной теореме ∠С должен быть меньше ∠А. Это противоречит условию. Значит предположение неверно, АВ > ВС.

Рис. прилагается
(ABCD) | | OO₁ ; ∠AOB =120° ; OO₁ =10 см ; OH ⊥AB ; OH =2 см .
-------
S_(ABCD) -?

ABCD - прямоугольник 
S_(ABCD)  =AB*AD = AB* OO₁=10AB . Определим  хорду AB .
∆OAB  равнобедренный (OA = OB  =r) ,   высота OH одновременно и медиана  AH =BH =AB /2  и  биссектриса * * * ∠AOH =(1/2)∠AOB =60°.* * *
∠ BAO=  ∠ABO = (180° - ∠AOB ) /2 =90°- (1/2)∠AOB =90° -60° = 30° . 
OH =OA/2 (катет против угла 30°) ⇒ OA =2*OH =2*2 см  = 4 см   и   
AB = 2* AH = 2* √ (OA² -OH²) =2√ (4² -2²) =4√3 (см) .
* * *  можно было  сразу  AB  =2* AH = 2*OH*tq60°  * * *
S_(ABCD)  =10*4√3  = 40√3  (см ²) .

ответ :  40√3 см ² .