3. В прямоугольной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите площадь трапеции, если боковые стороны равны 12 см и 13 см

Объяснение:

Дано: АВСD- трапеция,АВ=12 см,СD=13 см

Найти:S-?

AB=h=CH=12 см

DH=√CD²-CH²=√13²-12²=√169-144=√25=5 см

sin(D)=CH/CD=12/13=0,923

<D° ≈67°

<BDA=1/2<D=1/2×67°=33,5°

<ABD=90°-<BDA=90°-33,5°=56,5°

AD=AB×tg 56,5°=12×1,5108≈ 18 см

BC=AD-DH=18-5= 13 см

S =(AD+BC)÷2×AB=(18+13)÷2×12= 186 см²

ΔАВС - равнобедренный  ⇒ 
∠А= ∠С  - углы при основании равны
АВ=ВС - боковые стороны равны
АС - основание.
По условию  ∠А= 2∠В  ⇒  ∠А =∠C > ∠В
Напротив большего угла  лежит большая сторона, а напротив большей стороны - больший угол ⇒ АВ=ВС = 16 см , АС = 4 см.
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
S= √ (р *(р-а)(р-b)(р-с) ) 
р- полупериметр ;  a,b,c - стороны треугольника
⇒ т.к. ΔАВС - равнобедренный ⇒ S= √ р *2(р-АВ)(р-АС)
р= (АВ+ВС+АС)/2 = (16*2+4)/2 = 18 см
S= √(18*2(18-16)(18-4) ) = √(18*2*2*14 ) = √1008 =√(144*7)= 12√7 см

ответ: S = 12√7 см.

41° 57° 82°

Объяснение:

Будем использовать следующие значения для сторон треугольника АВС: АВ=с, ВС=а, СА=b и его углов:

<А=а, <В=b, <C=y (a, b, y : Альфа, Бэта, Гама.)

Дано:

а=4, b=5, c=6.

Найти: a, b, y -?

Пусть b - наибольшая сторона, b<a+c.

По теореме косинусов находим наибольший угол b,

[Не обязательно писать, для ориентира: Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.]

{b}^{2} = {a}^{2} + {c}^{2} - 2ac \times cos \betab

2

=a

2

+c

2

−2ac×cosβ

\begin{gathered} \cos\beta = \frac{a {}^{2} + c {}^{2} - b {}^{2} }{2ac} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = 0,5625 = \\ = \frac{9}{16} \end{gathered}

cosβ=

2ac

a

2

+c

2

−b

2

=

48

16+36−25

=0,5625=

=

16

9

При основного тригонометрического тождества найдём Sin B

\begin{gathered}sin {}^{2} \beta + cos {}^{2} \beta = 1 \\ sin {}^{2} \beta = 1 - cos {}^{2} \beta \\ sin \beta = \sqrt{1 - \frac{81}{256} } = \\ = \sqrt{ \frac{175}{256} } = \frac{5 \sqrt{7} }{16} \end{gathered}

sin

2

β+cos

2

β=1

sin

2

β=1−cos

2

β

sinβ=

1−

256

81

=

=

256

175

=

16

5

7

С теоремы синусов найдём углы треугольника:

\frac{a}{ \sin( \alpha ) } = \frac{b}{ \sin( \beta ) } = \frac{c}{ \sin( \gamma ) }

sin(α)

a

=

sin(β)

b

=

sin(γ)

c

Отсюда,

\sin( \alpha ) = \frac{a \sin( \beta ) }{b} = \frac{5 \sqrt{7} }{4} \times \frac{1}{5} = \frac{ \sqrt{7} }{4}sin(α)=

b

asin(β)

=

4

5

7

×

5

1

=

4

7

\sin( \gamma ) = \frac{c\sin( \beta ) }{b} = \frac{5 \sqrt{7} }{ 16} \times \frac{6}{5} = \frac{3 \sqrt{7} }{8}sin(γ)=

b

csin(β)

=

16

5

7

×

5

6

=

8

3

7

С таблиц находим градусную меру углов:

а≈41°

b≈57°

Тогда,

у≈82°

ответ: 41° 57° 82°