Із точки А, яка не належить площині а, проведена похила до ціеї площини. Визначте кут між ціею похилою і площиною а, якщо відстань від точки А до площини а у два рази менша від довжини похилої.​

Якщо відстань від точки А до похилої х, а похила 2х (удвічі більша),

то кут між похилою і площиною становить 30°.

Оскільки похила є гіпотенузою, а відстань від точки А до похилої - катетом прямокутного трикутника, а за умовою катет дорівнює половині гіпотенузи, то кут, який лежить навпроти такого катета дорівнює половині гіпотенузи, тобто 30°.

Відповідь: кут між ціею похилою і площиною а становить 30°.

task/25534922

Решите неравенство (9x+1) / (x-3) < 0 методом интервалов .

(9x+1) / (x-3) < 0 ⇔9(x+1/9) / (x-3) < 0 ⇔ (x+1/9) * (x-3) < 0 . 
* * *  неравенства A / B  <  0  и  A*B < 0  равносильные ,т.е._имеют одинаковые решения (записывается: A/B < 0 ⇔ A*B < 0 ) , выполняются если  A и B  имеют разные знаки  * * *Определяем корни (вс уравнения  (x+1/9) * (x-3) = 0 .Корни (нули) :  x= -1/9   и  x =3 .
Отметим корни на числовой оси .   Этими точками числовой ось разбивается  на три интервалы :  ( - ∞  ; -1/9)                 (-1/9 ; 3)                (3; ∞) (-1/9) (3)
         «+»                          «-»                     «+»      
Знак  может меняться только при переходе через корень. Используем этот факт: для каждого из трех интервалов, на которые ось разбивается корнями, достаточно определить знак функции только в одной произвольно выбранной точке: в остальных точках интервала знак будет таким же.
В нашем примере: при x < -1/9 оба выражения в скобках отрицательны (подставим, например x=- 4: (-4+1/9)(-4−3)>0 ).
Ставим на оси знак «+» для этого интервала .
При переходе через корень x= -1/9 знак  меняться , станет «-» . Затем второй раз знак  меняться при переходе через другой корень:    x=3 , станет «+»

Таким образом 
x ∈( - ∞  ; -1/9)   → « + » ;
x∈ (-1/9 ; 3)       → « -  »  * * * интересующий нам интервал  * * *
x∈ (3 ; ∞ )         → « + » .

* * * можно начинать с любого из этих трех интервалов
например  со среднего:  x∈(-1/9 ; 3) ,  x=0 ⇒ (0+1/9)*(0 -3) <0 отметим знаком  «-» и при переходе  через корни  x= -1/9 и x =3  знаки меняются
на «+» * * *

        

а) Найдем точку пересечения асимптот: (центр гиперболы)

2у - 3х = 7

2у + 3х = 1   Сложим и получим 4у = 8  у = 2  х = - 1.

О(-1; 2) - центр гиперболы. Каноническое уравнение скорректируется:

(х+1)^2 / a^2   -   (y-2)^2 /b^2 = 1.

Найдем а^2 и b^2.

Уравнение данного эллипса:

x^2 /3  + y^2 /7 = 1

Эллипс вытянут вдоль оси У и фокусы расположены на оси У на расстоянии:

Кор(7-3) = 2  от начала координат. Берем верхний фокус (0; 2), видим что он расположен на одном расстоянии от оси Х, как и центр гиперболы.

Пусть (0; 2) - правый фокус гиперболы. Расстояние до центра гиперболы равно 1.

a^2 + b^2 = 1

Еще одно уравнение для а и b получим из углового коэффициента асимптот. b/a = 3/2 ( 3/2 получится если в уравнении асимптоты выразить у через х). Итак имеем систему:

a^2 + b^2 = 1     13a^2/4 = 1       a^2 = 4/13 

b/a = 3/2           b = 3a/2            b^2 = 9/13

Уравнение гиперболы:

13(x+1)^2 /4  -  13(y-2)^2 /9  = 1

б) Левый фокус гиперболы находится в т.(-2; 2), правый фокус -

в т. (0; 2).

Значит вершина параболы смещена на 2 относительно начала координат по оси У. Каноническое уравнение будет иметь вид:

(y-2)^2 = -2px   (ветви влево!)

F = p/2 = 2  Отсюда  p = 4

(y-2)^2 = -4x