Выполнить: 3 треугольника с фиксированным острым углом и вычислить отношение противолежащего катета к гипотенузе для каждого треугольника

Сделаем рисунок к задаче.

Обозначим вершины параллеограмма привычными буквами АВСD.

Проведем биссектрисы углов В и С, которые пересекутся на АD в точке М.

Биссектрисы образовали со сторонами параллелограмма треугольники, причем

∠ СВМ= ∠ АМВ  по свойству углов при пересечении параллельных прямых и секущей, а

∠ АВМ= ∠МВС -  как половины угла В.

То же самое с углами ВСМ и СМD.

Раз углы при основании ВМ  Δ АВМ и основании СМ Δ СМD равны,

оба этих треугольника - равнобедренные.

В треугольнике АВМ сторона АВ равна стороне АМ,
В треугольнике МDС сторона МD равна стороне СD.

Но АВСD- параллелограмм, и стороны АВ и CD равны по определению.

Следовательно, АМ=MD и АD=2АВ ( или 2 CD, что одно и то же)

Р АВСD= 2( АВ+АD) Подставим в значение периметра 2 АВ вместо AD.
Р АВСD= 2( АВ+2АВ)
30= 6 АВ
АВ=5 см
Ответ: Длина короткой стороны параллелограмма равна 5 см

Если набранное решение пропадет еще раз - значит, не судьба.

Известная формула длины биссектрисы (если надо показать, как это получается, обращайтесь :)) 

L^2 = a*b - x*y;

Здесь L = 12, a = 14; b = 35; пусть с - третья сторона, тогда x и y - отрезки, на которые биссектриса делит с.

Из известного свойства биссектрисы x = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b); поэтому

L^2 = a*b*(1 - c^2/(a + b)^2); то есть

c^2 = (a + b)^2*(1 - L^2/(a*b));

Вычисления дают с^2 = 1695,4 (это точное значение, а не приближенное, если не понятно.)

Поскольку найдены все три стороны, задача в принципе уже решена. Но вычисления по формуле Герона в данном случае слишком громоздки. Проще найти угол напротив стороны с.

По теореме косинусов (обозначено t = cos(C))

с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*t;

t = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);

Подстановка значений дает t = - 7/25; (угол С тупой) 

Отсюда sin(C) = 24/25;

Площадь S = a*b*sin(C)/2 = 14*35*(24/25)/2 = 235,2

 

Больше всего времени я потратил на поиски решения, использующего Пифагорову тройку 7,24,25, которая возникает по ходу решения. Увы -  не вышло. Может, кто-то сообразит?