Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 12см, и площадь круга, вписанного в этот треугольник.

Радиус описанной окружности около правильного треугольника определяется формулой  r=a/sqrt(3)  r=12/sqrt(3)=sqrt(48)=4*sqrt(3)  длина окружности l=2*pi*r=2*4*sqrt(3)*pi=8*sqrt(3)*pi  радиус вписанной окружности равен  r=a/2*sqrt(3)=12/2*sqrt(3)=sqrt(12)=2*sqrt(3)  площадь круга равна  s=pi*r^2=12pi

Вспомним теорему: "угол, вершина которого лежит внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая - между продолжениями сторон" дуга вd = 2*102 = 204; дуга ас = 2*72= 144; искомый угол измеряется половиной дуги на которую он опирается: угол acd = ad/2; из выше написанной теоремы следует, что угол амв = 180-110 = 70, он же равен (ав+сd)/2 - полусумме дуг. определим двумя способами дугу   ad = bd - ab и ad = ac - cd, сложим эти 2 уравнения 2ad=ac+bd-(ab+cd) но мы знаем, что ab+cd = 70*2 = 140, а ac+bd = 204+144 = 348 - подставим цифры 2ad = 348 - 140 = 208, ad=104, наш угол измеряется половиной дуги: угол acd = ad/2 = 104: 2 = 52.

пусть середина стороны ав т. к

пересечением   пл. (альфа) и пл. треугольника (авс) является прямая k

прямая k параллельна стороне вс

в противном случае, она должна пересечь прямую(вс)

но точка пересечения должна принадлежать также  пл. (альфа) 

а это невозможно -

пл. (альфа)   и вс не имеют точек пересечения - по условию они параллельны

значит  прямая k параллельна вс

прямая k является секущей сторон ав и ас и делит их на пропорциональные отрезки

отсюда следует , что  прямая k и    плоскость альфа проходит также через середину стороны ас.

отрезок прямой k (между сторонами ав и ас)- это средняя линия  треугольника авс