Острые углы прямоугольного треугольника равны 10° и 80°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. ответ дайте в градусах.

ответ: 70 градусов

Объяснение:

СО - медиана прямоуг. треуг., значит СО=АО и треуг. АОС равнобедренный, Угол ОСА= 10градусов.

Треуг. СВК прямоуг., угол КСВ=90-80=10градусов

Угол КСО = 90 - 10 - 10 = 70 градусов

MN - средняя линия трапеции. Средняя линия проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки касательных из одной точки равны, △BAC - равнобедренный. Параллельные линии отсекают от угла подобные треугольники. Средняя линия MN параллельна основаниям, основания параллельны BC, MN||BC => △MAN~△BAC, △MAN - равнобедренный. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. Биссектриса в равнобедренном треугольнике является высотой и медианой, ∠BDO=90, BD=BC/2=a/2, MO=MN/2.

Радиус перпендикулярен касательной, ∠OBM=90.

Накрест лежащие углы при параллельных равны, ∠MOB=∠OBD.

△MOB~△OBD (по двум углам)

MO/OB=OB/BD <=> (MN/2)/r=r/(a/2) <=> MN=4r^2/a

В трапецию вписана окружность, h=2r.

S=MN*h =4r^2/a *2r =8r^3/a

3) Дано:

АВCD - ромб,

AC и BD - диагонали ромба,

О - точка пересечения диагоналей,

угол BCD = 104*

Найти углы ABO.

Решение: возьмем произвольный ромб и обозначим его как ABCD, проведем в нем диагонали  AC и BD. Они пересекутся в точке О. Известно также, что диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. Тогда угол ВСО = углу ОСD = 104/2=51*. Рассмотрим один из получившихся треугольников - ВОС. В нем  угол ВОС = 90* (так  как диагонали ромба перпендикулярны). Угол ВСО = 51*, угол ВОС = 90*, значит угол ОВС = 180 - (51*+90*) = 39*. Но треуг. ВСО = треуг. АВО и  значит все стороны и углы одного соответственно равны сторонам и углам другого. То есть в треугольнике АВО угол АВО = 39*, а угол ВОА = 90*.