Как доказать ABC = A1 B2 C3 ?

Проведем диагональ ВD. 
Треугольник АВD - равнобедренный с углом при А=60° 
Отсюда углы при ВD =(180°-60°):2=60° 
Треугольник АВD=∆ ВСD- равносторонние. 
ВН - высота. ВН=ВF 
∆ НВF - равнобедренный.  
Угол НВF=60° 
Углы при НF= по 60° 
∆ НВF - равносторонний  
ВН=ВФ= Р∆ ВНF:3=12:3=4 см 
Высота равностороннего треугольника равна стороне, умноженной на синус 60° 
ВН=АВ*(√3):2 см 
АВ=ВН:(√3):2)=8:√3 см 
Площадь параллелограмма ( а ромб - параллелограмм) равна произведению его  смежных сторон, умноженному на синус угла между ними 
Ѕ♢= (8:√3)*(√3):2=4 см² 
------- 
Сторону ромба можно найти по т.Пифагора: 
АВ=√(ВН²+АН²), где АН=АВ:2. 
Площадь равна произведению высоты на сторону. -  
Проверьте - получите то же значение стороны и площади ромба.

Пусть треугольник АВС, АС - основание и точка М - конец биссектрисы. Пусть АВ - меньшая сторона.
АС=0,75*(АВ+ВС) или 0,75*АВ+0,75*ВС.
Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол, значит меньшая высота - это высота ВК.
Итак, ВК=4. Тогда площадь треугольника АВС равна (1/2)*АС*ВК или Sabc=2AC=1,5(AB +BC).
Треугольники АВМ и АВС имеют общую высоту, опущенную из вершины В этих треугольников.  Значит их площади относятся, как их основания (свойство).
Поскольку ВМ - биссектриса, то АМ/МС=0,75АВ/0,75ВС (свойство биссектрисы).
Тогда Sabm/Sabc=0,75*АВ/АС=0,75*АВ/0,75*(АВ+ВС) = АВ/АВ+ВС.
Отсюда Sabm=Sabc*АВ/(АВ+ВС) или Sabm=1,5(AB+BC)*АВ/(АВ+ВС) или
Sabm=1,5*АВ.
С другой стороны, площадь треугольника АВМ равна Sabm=(1/2)*AB*h, где h- искомое расстояние - перпендикуляр из точки М к стороне АВ.
Тогда 1,5*АВ=(1/2)*AB*h, отсюда h= 1,5*2=3.
ответ: расстояние от точки М до меньшей стороны треугольника равно 3.
P.S. Намного длиннее, но может чуть понятнее...