1.Точка С - середина відрізка АВ. Знайти координати точки С, якщоА(0;-2;3), B(4;-6;1​

Так как параллелепипед прямой, все его рёбра перпендикулярны основанию АВСД. 

АА₁ перпендикулярно плоскости основания, следовательно, перпендикулярно любой прямой в плоскости АВСД и  проходящей через А.

АА₁⊥АС.

А₁С - большая диагональ призмы, АС - большая диагональ основания. 

Искомый угол- ∠А₁СА. 

По т.косинусов АС²=AB²+BC²-2AB•DC•cos∠ABC

ВС||АД, АВ - секущая. Сумма односторонних углов параллелограмма равна 180° 

∠АВС=180°-60°=120°;  cos120º= -1/2

АС=√(25+9 - 2•3•5•(-1/2)=√49=7

tg A₁CA=AA₁:AC=7√2)/7=√2 ≈ 1.4142

Это тангенс угла = ≈ 54°44' 

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть Δ ABC и  таковы, что    (рис. 4.2.1). В соответствии с аксиомой 4.1 существует  равный данному  с вершиной  в точке  с вершиной  лежащей на луче  и вершиной  в той же полуплоскости относительно прямой  где лежит вершина  (рис. 4.2.2).

Так как  по условию, то на основании аксиомы 1.5 точки  и  совпадают (рис. 4.2.3).

Так как  то луч  совпадает с лучом  (рис. 4.2.4). Так как  то на основании аксиомы 2.5 вершина  совпадает с вершиной (рис. 4.2.5). Тогда  совпадает с  и, значит, равен Δ ABC. Теорема доказана.